Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 1–20 / 179

1. Koupě auta

Petr si chce za dva roky koupit nové auto. Ví, že cena auta bude 600 000 Kč. Plánuje si peníze odkládat na spořicí účet s ročním úrokem 4 %, který se připisuje na konci každého roku.

Vypočítejte, kolik musí Petr vložit na tento účet dnes, aby měl za dva roky dostatek peněz na nákup auta.

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Zásobník na vodu má tvar válce o poloměru základny 50 cm a výšce ( frac{3}{pi} , ext{m} ). Aktuálně je naplněn ze 40 %. Do zásobníku začala téct voda rychlostí 1 litr za 2 sekundy. Vypočítejte, za jak dlouho bude zásobník naplněn z 90 %.

Vypočítejte, za jak dlouho bude zásobník naplněn z 90 %. (Zapište v minutách a sekundách.)

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

3. Úhly v trojúhelníku

Určete velikosti všech úhlů v trojúhelníku, který je zadán souřadnicemi tří bodů. Výsledky zapište ve stupních na dvě desetinná místa.

A (1, 2), B (4, 6), C (7, 2) .

A (- 2, 1), B (3, 4), C (1, - 3) .

A (2, 3), B (6, 3), C (6, 7) .

A (1, 1), B (4, 5), C (7, 2) .

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

α \approx {53.13}^{\circ}, β \approx {73.74}^{\circ}, γ \approx {53.13}^{\circ} .

α \approx {79.1}^{\circ}, β \approx {50.9}^{\circ}, γ \approx 50^{\circ} .

α = 45^{\circ}, β = 45^{\circ}, γ = 90^{\circ} .

α \approx {48.6}^{\circ}, β \approx 60^{\circ}, γ \approx {71.4}^{\circ} .

4. Průsečík dvou rovin

Najděte průsečík rovin:

Rovina ρ_{1} : x = 2 + s, y = s + t, z = 3 + t, s, t \in R .

Rovina ρ_{2} : x = 4 + u, y = 2 u - v, z = 5 - v, u, v \in R .

Rovina ρ_{1} : x = s, y = 2 + s + t, z = 3 + t, s, t \in R .

Rovina ρ_{2} : x = u + v, y = 4 - u, z = 6 + v, u, v \in R .

Rovina ρ_{1} : x = 3 + s, y = - s, z = 2 - t, s, t \in R .

Rovina ρ_{2} : x = 3 + 2 u - v, y = u - 2 v, z = 2 + u + v, u, v \in R .

Rovina ρ_{1} : x = 1 + s, y = 1 + t, z = 1 + t, s, t \in R .

Rovina ρ_{2} : x = 2 + u, y = 2 - v, z = 2 - v, u, v \in R .

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

x = 4, y = 8 - v, z = 5 - v, v \in R .

x = - \frac{1}{2} + v, y = \frac{9}{2} + v, z = 6 + v, v \in R .

x = 3 + v, y = - v, z = 2 + 2 v, v \in R .

x = 1 + v, y = 2 - v, z = 2 - v, v \in R .

5. Světelné efekty ve městě

Ve městě se plánuje oslavná událost, na kterou organizátoři připravili speciální světelné show. K dispozici mají 4 různé barvy světel: červenou, modrou, zelenou a žlutou. Každou barvu mohou použít vícekrát a pořadí barev při show je důležité.

Vypočítejte, kolik různých sekvencí světel o délce 5 mohou organizátoři vytvořit.

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

6. Limity funkcí

Pomocí l'Hospitalova pravidla vypočítejte limity funkcí:

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}

lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x^{2}}

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}

lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

7. Derivace funkcí

Vypočítejte derivace následujících funkcí:

f (x) = x^{2} \cdot e^{x}

g (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}

h (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)

k (x) = \sqrt{x^{2} + 1}

m (x) = e^{\sin (x)}

p (x) = \ln (x^{2} + 1)

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2})

g^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x - 1)^{2}}

h^{'} (x) = \cos (2 x)

k^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

m^{'} (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)

p^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}

8. Sarrusovo pravidlo

Vypočítejte determinant pomocí Sarrusova pravidla:

| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |

| \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} |

| \begin{matrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} |

| \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} |

| \begin{matrix} 5 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} |

| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{matrix} |

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

0

7

- 19

28

45

1

9. Limity posloupností 2

Vypočítejte následující limity:

lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} + 5}{n^{2} + 4 n + 1}

lim_{n \to \infty} \frac{n + \ln n}{n + 1}

lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n^{2}}

lim_{n \to \infty} \frac{n^{3}}{n^{2} + 1}

lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{2}{n})}^{n}

lim_{n \to \infty} n \sin (\frac{1}{n})

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

a) 3

b) 1

c) 0

\infty

e^{- 2}

f) 1

10. Limity posloupností 1

Vypočítejte následující limity:

lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1}

lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + 3 n}{n^{2} + n}

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 2}

lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{n^{3} + 2 n^{2} + 3}

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

11. Logaritmické rovnice

Vyřešte v R logaritmické rovnice:

\log_{3} (5 + \log_{2} ((x - 1)^{4})) = 2

\log_{2} (x) + \log_{2} (x - 1) = 3

\log_{3} (x^{2} + 3 x) - \log_{3} (x) = 1

\log_{5} (x^{2} - 4) + \log_{5} (2 x) = 2

\ln (x^{2} + 2 x) - \ln (x + 1) = \ln (4)

\log_{10} (x^{2} + 4 x + 4) + \log_{10} (x + 3) = 2

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

x = 3 a x = - 1

x = 4

Žádné řešení.

x = 3

x = 2

x = 2

12. Logaritmické rovnice

Vyřeš logaritmické rovnice:

\log_{2} (x + 1) + \log_{2} (x - 1) = 3

\log_{2} (2 x + 3) - \log_{2} (x - 1) = 1

\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 2) = 3

\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 2) = 3

\log_{2} (4 x + 1) - \log_{2} (x - 1) = 3

\log (99 x + 100) - \log (x - 1) = 2

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

x = 3

nemá řešení

x = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}

x = - 1 + \sqrt{17}

x = \frac{9}{4}

x = 200

13. Determinant matice

Spočítejte determinant matice:

A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 0 & 1 \end{matrix})

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

det (A) = - 71

det (B) = 26

14. Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

Pomocí Gaussovy eliminace řešte soustavy rovnic:

(\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & - 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 3 \\ 6 & 9 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 12 \\ 15 \end{matrix})

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

x_{1} = 1

x_{2} = - 1

x_{3} = 1

x_{1} = - 1

x_{2} = 0

x_{3} = 1

x_{1} = 1

x_{2} = 1

x_{3} = 2

d) Nemá řešení.

15. Derivace složených funkcí

Určete derivace následujících funkcí:

f_{1} (x) = \sin (3 x^{2})

f_{2} (x) = \ln (\cos (x^{2}))

f_{3} (x) = e^{x^{3}}

f_{4} (x) = \sqrt{2 x^{5} + 1}

f_{5} (x) = \tan (\ln (x))

f_{6} (x) = \frac{1}{x^{2} + e^{2 x}}

f_{7} (x) = \sin (\sqrt{x})

f_{8} (x) = \frac{\ln (x)}{x^{3}}

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

f_{1}^{'} (x) = \cos (3 x^{2}) \cdot 6 x

f_{2}^{'} (x) = - 2 x \cdot \tan (x^{2})

f_{3}^{'} (x) = e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2}

f_{4}^{'} (x) = \frac{5 x^{4}}{\sqrt{2 x^{5} + 1}}

f_{5}^{'} (x) = \frac{1}{x \cdot \cos^{2} (\ln (x))}

f_{6}^{'} (x) = - \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{(x^{2} + e^{2 x})^{2}}

f_{7}^{'} (x) = \frac{\cos (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

f_{8}^{'} (x) = \frac{1 - 3 \ln (x)}{x^{4}}

16. Derivace polynomů

Určete derivace funkcí:

f_{1} (x) = 3 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 7

f_{2} (x) = - 2 x^{5} + 4 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2} - 3 x

f_{3} (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + x - 8

f_{4} (x) = - x^{5} + 3 x^{4} - 2 x^{2} + x - 4

f_{5} (x) = 6 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x - 9

f_{6} (x) = - 4 x^{5} + x^{3} - 3 x^{2} + 7 x

f_{7} (x) = 3 x^{4} - x^{2} + 2 x - 1

f_{8} (x) = 5 x^{5} - 3 x^{4} + x^{2} - 6

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

f_{1}^{'} (x) = 12 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x - 1

f_{2}^{'} (x) = - 10 x^{4} + 16 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 3

f_{3}^{'} (x) = 15 x^{2} - 14 x + 1

f_{4}^{'} (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{3} - 4 x + 1

f_{5}^{'} (x) = 24 x^{3} - 15 x^{2} + 4

f_{6}^{'} (x) = - 20 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 7

f_{7}^{'} (x) = 12 x^{3} - 2 x + 2

f_{8}^{'} (x) = 25 x^{4} - 12 x^{3} + 2 x

17. Průsečík lineárních funkcí

Určete průsečík grafů lineárních funkcí:

f_{1} (x) = 4 x - 3

f_{2} (x) = - x + 2

f_{1} (x) = 4 x - 1

f_{2} (x) = 2 x + 5

f_{1} (x) = 3 x + 2

f_{2} (x) = 3 x + 5

f_{1} (x) = - x + 4

f_{2} (x) = 2 x - 2

f_{1} (x) = - 10 x - 14

f_{2} (x) = - 10 x - 14

f_{1} (x) = x - 3

f_{2} (x) = - 2 x + 1

f_{1} (x) = - 3 x + 6

f_{2} (x) = x + 2

f_{1} (x) = 2 x - 4

f_{2} (x) = - x + 5

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

a) [1, 1]

b) [3, 11]

c) nemá řešení

d) [2, 2]

e) nekonečně mnoho řešení

f) [

\frac{4}{3}

- \frac{5}{3}

]

g) [1, 3]

h) [3, 2]

18. Logaritmické rovnice

Vyřešte logaritmické rovnice:

\log_{3} (x + 2) = 2

\log_{5} (2 x - 1) = 3

\log_{2} (3 x + 4) = 4

\log_{4} (5 x - 3) = 2

\log_{7} (x^{2} - 1) = 1

\log_{6} (2 x + 5) = 0

\log_{9} (4 x - 7) = 2

\log_{10} (x + 9) = 1

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

x = 7

x = 63

x = 4

x = 3.8

x = 2 \sqrt{2}

nebo

x = - 2 \sqrt{2}

x = - 2

x = 22

x = 1

19. Exponenciální rovnice počítané substitucí

Vypočítej exponenciální rovnice v oboru reálných čísel:

2^{2 x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0

3^{2 x} + 2 \cdot 3^{x} - 8 = 0

5^{2 x} - 6 \cdot 5^{x} + 5 = 0

4^{2 x} - 8 \cdot 4^{x} + 16 = 0

9^{2 x} - 7 \cdot 9^{x} + 12 = 0

7^{2 x} - 13 \cdot 7^{x} + 42 = 0

6^{2 x} - 5 \cdot 6^{x} - 6 = 0

10^{2 x} + 3 \cdot 10^{x} - 4 = 0

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

x = 0

nebo

x = 1

x = \log_{3} 2

x = 1

nebo

x = 0

x = 1

x = \frac{1}{2}

nebo

x = \log_{9} 4

x = \log_{7} 6

nebo

x = 1

x = 1

x = 0

20. Plocha pod křivkou

Najděte obsah plochy pod křivkou:

f (x) = 0.3 x^{2} + 0.2 x - 0.2

v intervalu od

x = 1

x = 4

f (x) = e^{- x} + 2

v intervalu od

x = 0

x = 2

Ukázat řešení Ukázat všechna řešení

Řešení

a) Obsah plochy je

7.2

jednotek čtverečních.

b) Obsah plochy je přibližně

4.8647

jednotek čtverečních.

12 3 4 5

Střední škola

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení