Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 41–60 / 150

Kamila je 2× starší než Helena. Před 4 roky byla Kamila 6× starší, než tehdy byla Helena.

Vypočítejte, za kolik let bude věk Kamily a Heleny v poměru 4:3.

Řešení

Věk Kamily a Heleny bude v poměru 4:3 za 10 let.

42. Žáci ve třídě

Ve třídě je 30 žáků. Věk každého počítáme na celé roky. Průměrný věk dívek je 12,25 a hochů 12,5 a průměrný věk všech je 12,3.

Vypočítejte, kolik je ve třídě dívek a kolik hochů.

Řešení

Ve třídě je 24 dívek a 6 chlapců.

43. Grafy lineárních funkcí

Jsou dány grafy lineárních funkcí.

Určete zpaměti funkční předpis.

Řešení

a) $f \left (x \right ) = - 2x + 2$

b) $f \left (x \right ) = \frac{1}{2}x - 3$

c) $f \left (x \right ) = \frac{1}{3}x$

d) $f \left (x \right ) = x - 2$

44. Kvadratické nerovnice

Řešte v R kvadratické nerovnice:

a) $x^{2}+12x+36<0$

b) $x^{2}+6x>0$

c) $x^{2}-7x-18\leq0$

d) $x^{2}-x-72<0$

e) $x^{2}-7x+6<0$

f) $x^{2}-7x-30\leq0$

g) $x^{2}-3x-18<0$

h) $x^{2}-4x+4\leq0$

i) $x^{2}-x-6\geq0$

j) $x^{2}-3x-18<0$

k) $x^{2}-3x-70\leq0$

l) $x^{2}-x-2\geq0$

Řešení

a) $x \in \left ( -6; -6 \right )$

b) $x \in \left ( -\infty; -6\right ) \cup \left (0; \infty; \right )$

c) $x \in \left \langle -2; 9 \right \rangle$

d) $x \in \left ( -8; 9 \right )$

e) $x \in \left ( 1; 6 \right )$

f) $x \in \left \langle -3; 10 \right \rangle$

g) $x \in \left ( -3; 6 \right )$

h) $x \in \left \langle 2; 2 \right \rangle$

i) $x \in \left ( -\infty; -2\right \rangle \cup \left \langle3; \infty; \right )$

j) $x \in \left ( -3; 6 \right )$

k) $x \in \left \langle -7; 10 \right \rangle$

l) $x \in \left ( -\infty; -1\right \rangle \cup \left \langle2; \infty; \right )$

45. Počet řešení kvadratické rovnice

Určete hodnotu m tak, aby kvadratická rovnice měla jedno řešení.

a) $x^2-4x+m=0$

b) $mx^2+6x+m=0$

c) $3mx^2+2mx+1=0$

d) $mx^{2}+4m(x+1)-2x+1=0$

Řešení

a) m = 4

b) m₁ = -3, m₂ = 3

c) m = 3

d) m = 0,20

V ročníku je 88 studentů a ti mají možnost si zvolit výuku dvou jazyků – angličtinu a němčinu. Na angličtinu nechodilo 66 studentů, což je o 3 více než počet studentů, kteří se nepřihlásili na němčinu. Na oba jazyky se přihlásilo 9 studentů.

Vypočítejte:

a) kolik studentů se přihlásilo alespoň na jeden jazyk,

b) kolik studentů se přihlásilo právě na jeden jazyk.

Řešení

a) Alespoň na jeden jazyk se přihlásilo 38 studentů.

b) Právě na jeden jazyk se přihlásilo 29 studentů.

47. Potřásání rukou

Po skončení schůzky si všichni přítomní potřásli každý s každým rukou – celkem 105krát.

Vypočítejte, kolik lidí bylo na schůzce.

Řešení

Na schůzce bylo 21 lidí.

48. Pravoúhlý trojúhelník

Pravoúhlý trojúhelník má obvod 36 cm. Přepona je o 6 cm delší než kratší z odvěsen.

Vypočítejte délky stran trojúhelníka.

Řešení

Velikost kratší z odvěsen je 9 cm, velikost delší z odvěsen je 12 cm, velikost přepony je 15 cm.

49. Pravidelný čtyřboký jehlan

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 288 dm³. Obvod jeho podstavy je stejně velký jako jeho výška.

Vypočítejte povrch jehlanu. (Výsledek zaokrouhlete na celé dm².)

Řešení

Povrch jehlanu je 326 dm².

50. Účinnost léku

Podle klinických studií je účinnost léku 90 %. Lékař lék předepsal osmi pacientům.

Vypočítejte pravděpodobnost, že u všech těchto pacientů bude lék účinný. (Zaokrouhlete na celá procenta).

Řešení

Pravděpodobnost, že u všech osmi pacientů bude lék účinný je 43 procent.

51. Pravoúhlý trojúhelník

Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří první 3 členy aritmetické posloupnosti. Obsah trojúhelníku je 600 cm².

Určete délky stran trojúhelníku.

Řešení

Délky stran trojúhelníku podle velikosti jsou 30, 40 a 50.

52. Hod kostkou a mincí

Hodíme kostkou a pak hodíme tolikrát mincí, jaké číslo padlo na kostce.

Vypočítejte v procentech, jaká je pravděpodobnost, že padne na minci alespoň jednou hlava.

Řešení

Pravděpodobnost je 83,59 procent.

53. Linkový autobus

Linkový autobus jezdí mezi místy A a B. Jestliže zvýší svoji průměrnou rychlost o 5 km/h, zkrátí se jízdní doba o 20 minut. Sníží-li svou původní rychlost o 4 km/h, prodlouží se doba jízdy o 20 minut.

Vypočítejte:

a) jaká je průměrná rychlost autobusu,

b) jaká je jízdní doba autobusu,

c) jaká je délka jeho trasy.