Úlohy: 1–7 / 7

1
Přehled ročníků

1. Hodnost matic

Určete hodnost následujících matic:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   Hodnost 2, matice je singulární.
b)   Hodnost 3, matice je regulární.
c)   Hodnost 1, matice je singulární.
d)   Hodnost 3, matice je regulární.
e)   Hodnost 3, matice je regulární.
f)   Hodnost 2, matice je singulární.

2. Kvadratická funkce zadaná třemi body

V kartézské soustavě souřadnic jsou dány body.

Určete předpis kvadratické funkce, která prochází body:
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   nemá řešení
d)   
e)   nekonečně mnoho řešení
f)   
g)   

3. Primitivní funkce

Určete primitivní funkci:
a)   
b)   
c)   
d)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   

4. Průběh funkce

Je dána funkce

Určete:
a)   definiční obor funkce f,
b)   obor hodnot funkce f,
c)   průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje),
d)   průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují),
e)   zda je funkce f sudá nebo lichá,
f)   zda je funkce f periodická,
g)   zda je funkce f prostá,
h)   zda je funkce f ohraničená zdola nebo shora,
i)   intervaly spojitosti funkce f,
j)   první derivaci funkce,
k)   druhou derivaci funkce,
l)   stacionární body,
m)   lokální extrémy funkce,
n)   v kterých intervalech funkce f roste,
o)   v kterých intervalech funkce f klesá,
p)   inflexní body,
q)   intervaly konvexnosti funkce,
r)   intervaly konkávnosti funkce,
s)   asymptoty funkce (pokud existují),
t)   limity na hranicích definičního oboru,
u)   načrtněte graf funkce.
Řešení
a)   Definiční obor
b)   Obor hodnot
c)   Průsečík s osou y je .
d)   Průsečíky s osou x jsou , .
e)   Funkce f není ani sudá ani lichá.
f)   Funkce f není periodická.
g)   Funkce f není prostá.
h)   Funkce f není ohraničená zdola nebo shora.
i)   Intervaly spojitosti funkce f jsou , , .
j)   
k)   
l)   Funkce f nemá stacionární body.
m)   Funkce f nemá lokální extrémy.
n)   Funkce f není rostoucí na žádném intervalu.
o)   Funkce f je klesající na intervalech , , .
p)   Inflexní bod funkce f je .
q)   Funkce f je konvexní na intervalech .
r)   Funkce f je konkávní na intervalech .
s)   Asymptoty funkce f jsou , a .
t)   Limity na hranicích def. oboru jsou
, , , , , .
u)    Vyšetřování průběhu funkce

5. Primitivní funkce

Určete primitivní funkci:
a)   
b)   
c)   
d)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   

6. Průběh funkce

Je dána funkce .

Určete:
a)   definiční obor funkce f,
b)   obor hodnot funkce f,
c)   průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje),
d)   průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují),
e)   zda je funkce f sudá nebo lichá,
f)   zda je funkce f periodická,
g)   zda je funkce f prostá,
h)   zda je funkce f ohraničená zdola nebo shora,
i)   intervaly spojitosti funkce f,
j)   první derivaci funkce,
k)   druhou derivaci funkce,
l)   stacionární body,
m)   lokální extrémy funkce,
n)   v kterých intervalech funkce f roste,
o)   v kterých intervalech funkce f klesá,
p)   inflexní body,
q)   intervaly konvexnosti funkce,
r)   intervaly konkávnosti funkce,
s)   asymptoty funkce (pokud existují),
t)   limity na hranicích definičního oboru,
u)   načrtněte graf funkce.
Řešení
a)   Definiční obor
b)   Obor hodnot
c)   Průsečík s osou y je .
d)   Průsečík s osou x jsou .
e)   Funkce f je lichá.
f)   Funkce f není periodická.
g)   Funkce f není prostá.
h)   Funkce f není ohraničená zdola ani shora.
i)   Intervaly spojitosti funkce f jsou .
j)   
k)   
l)   Stacionární body funkce f jsou , a .
m)   Lokální extrémy funkce f: lokální maximum , lokální minimum .
n)   Funkce f je rostoucí na intervalech , .
o)   Funkce f je klesající na intervalech , , .
p)   Inflexní bod funkce f je .
q)   Funkce f je konvexní na intervalech .
r)   Funkce f je konkávní na intervalech .
s)   Asymptoty funkce f jsou , a .
t)   Limity na hranicích def. oboru jsou
, , , , , .
u)    Vyšetřování průběhu funkce

7. Spropitné

V gastronomickém zařízení se vždy na konci dne provádí inventura v pokladně, aby si mohli zaměstnanci rozdělit spropitné. Zjistilo se, že denní spropitné se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 130 € a směrodatnou odchylkou 60.

Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vybraný den bude spropitné více než 160 €.
Řešení
p = 30,85 %
 
1