Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 1–20 / 130

1. Vystřižené rovnoramenné trojúhelníky

Jsou dány dva shodné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý má obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složíme rovnoběžník tak, že je k sobě přiložíme rameny. Poté z nich složíme kosočtverec tak, že je k sobě přiložíme základnami. Rovnoběžník má o 4 cm kratší obvod než kosočtverec.

Vypočítejte délky stran trojúhelníků.

Řešení

Základna má délku 32 cm, rameno má délku 34 cm.

2. Plnící linky v mlékárně

V mlékárně mají dvě linky pro plnění krabic mléka. Nová linka je o 50 % rychlejší, než stará linka. Když pracují obě linky současně, naplní běžné denní množství krabic mléka o 6 hodin dříve, než když pracovala pouze stará linka.

Vypočítejte, za jak dlouho naplní denní množství krabic mléka, bude-li pracovat:

a) pouze stará linka,

b) pouze nová linka,

c) obě linky současně.

Řešení

a) Bude-li pracovat pouze stará linka, naplní denní množství krabic za 10 hodin a 0 minut.

b) Bude-li pracovat pouze nová linka, naplní denní množství krabic za 6 hodin a 40 minut.

c) Budou-li pracovat obě linky současně, naplní denní množství krabic za 4 hodin a 0 minut.

3. Výška pravidelného čtyřbokého jehlanu

Pravidelný čtyřboký jehlan má objem 2 160 litrů a délku podstavné hrany 12 dm.

Vypočítejte výšku jehlanu.

Řešení

Výška jehlanu je 45 dm.

4. Pět hodů mincí

Vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí 5× po sobě padne hlava. (Výsledek zapište ve tvaru zlomku.)

Řešení

Pravděpodobnost je $\frac{1}{32}$ .

5. Rozdělený pravidelný čtyřboký jehlan

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan s délkou podstavné hrany a = 15 cm a výškou v = 21 cm. Rovnoběžně s podstavou vedeme dvě roviny tak, že rozdělí výšku jehlanu na tři stejné části.

Vypočítejte poměr objemů vzniklých 3 těles od nejmenšího po největší.

Řešení

Poměr je 1:7:19.

6. Peníze Soni, Emy a Zuzany

Soňa a Ema mají dohromady 200 Kč, Ema a Zuzana mají dohromady 150 Kč, Soňa se Zuzanou mají dohromady 190 Kč.

Vypočítejte, kolik Kč má Soňa, kolik Ema a kolik Zuzana.

Řešení

Soňa má 120 Kč, Ema má 80 Kč a Zuzana má 70 Kč.

7. Kužel a válec

Rotační válec má objem 120 dm³. Rotační kužel má stejně velký objem i poloměr podstavy jako rotační válec.

Vypočítejte, o kolik procent je větší výška rotačního kužele než výška rotačního válce.

Řešení

Výška rotačního kužele je větší o 200 %.

8. Zvětšení stran obdélníku

Jedna strana obdélníku byla zvětšena o 20 % a druhá o 25 %.

Vypočítejte, o kolik procent se zvětšil obsah obdélníku.

Řešení

Obsah obdélníku se zvětšil o 50 %.

9. Výběr ovoce

V obchodě je k dispozici 5 různých druhů ovoce: jablka, hrušky, meruňky, banány a kiwi.

Vypočítejte, kolik možností výběru 3 kusů ovoce různého druhu existuje.

Řešení

Existuje 10 různých možností, jak vybrat 3 kusy ovoce z 5 různých druhů.

10. Kužel vyříznutý z válce

Těleso vzniklo tak, že byl do válce o průměru 12 cm a výšce 20 cm vyříznut kužel o stejném průměru a stejné výšce.

Vypočítej objem takto vzniklého tělesa.

Řešení

Tedy objem takto vzniklého tělesa je 1 507,96 cm³.

11. Objem válce a kužele

Je dán válec s poloměrem základny 6 cm a výškou 10 cm. Na vrcholu tohoto válce je umístěn kužel se stejným poloměrem základny a polovinou výšky válce.

Vypočítejte objem tohoto složeného tělesa. (Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)

Řešení

Objem složeného tělesa je 1 319,47 cm³.

12. Sinus a cosinus úhlů

Vypočítejte zpaměti sin a cos uvedených úhlů:

a) $\frac{\pi}{4}$

b) $\frac{3\pi}{2}$

c) $150^\circ$

d) $30^\circ$

Řešení

a) $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1; \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

c) $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}; \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}; \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

13. Kvadratické lomené rovnice

Vyřešte kvadratické lomené nerovnice:

a) $\frac{{x^2 - 7x + 10}}{{x^2 - 6x + 9}} \leq 0$

b) $\frac{{x^2 - 5x + 6}}{{x^2 - 9x + 14}} \geq 0$

c) $\frac{{2x^2 - 9x + 7}}{{x^2 - 4x + 3}} \leq 0$

d) $\frac{{2x^2 - 5x + 2}}{{x^2 - 4x + 3}} \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle 2; 3\right ) \cup \left (3; 5 \right \rangle$

b) $x \in \left ( -\infty; 2\right ) \cup \left (2; 3 \right \rangle$

c) $x \in \left ( 3; \frac{7}{2} \right \rangle$

d) $x \in \left \langle\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left \langle2, 3\right)$

14. Kvadratické lomené rovnice

Vyřešte kvadratické lomené rovnice:

a) $\frac{3x^2 - 2x - 1}{x^2 + 4x + 3} = 0$

b) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = 0$

c) $\frac{{x^2 - 6x + 8}}{{x^2 - 5x + 6}} = 0$

d) $\frac{{3x^2 - 8x + 4}}{{x^2 - 5x + 6}} = 0$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{1}{3}; 1 \right \}$

b) $K=\{ -3 \}$

c) $K=\{ 4 \}$

d) $K=\left \{ \frac{2}{3} \right \}$

15. Zapomenutý PIN

Tomáš zapomněl čtyřmístný PIN, pamatuje si první tři čísla. Ví, že čtvrté číslo je liché.

Vypočítejte pravděpodobnost v procentech, že se mu PIN podaří na jeden pokus určit.

Řešení

Pravděpodobnost, že Tomáš určí správně PIN, je 20 %.

16. Anketa

Anketa provedená u 200 respondentů zjišťovala, jaký mají rádi sport. Na výběr byl fotbal, hokej a basketbal. Přinesla tyto výsledky: Hokej je oblíben u 78 respondentů, basketbal u 75 respondentů a fotbal u 101 respondentů. Dále se zjistilo, že všechny tři sporty jsou oblíbené 28 respondenty. Těch, kteří mají rádi právě dva z těchto tří sportů, je 22, z nich právě polovina má ráda dvojici fotbal a basketbal. Respondentů, kteří mají rádi jenom basketbal, je o 7 méně než těch, kteří mají rádi jen hokej.

Vypočítejte:

a) kolik studentů má rádo fotbal,

b) kolik studentů má rádo hokej,

c) kolik studentů má rádo basketbal,

d) kolik studentů nemá rádo ani jeden z uvedených sportů.