Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 101–120 / 181

Automobil projel jeden okruh neznámou stálou rychlostí, další dva stejné okruhy stálou rychlostí 72 km/hod. Celková průměrná rychlost byla 36 km/hod.

Určete rychlost, kterou automobil projel poprvé okruh.

Řešení

Automobil projel poprvé okruh rychlostí 18 km/hod.

102. Logaritmické rovnice

Vyřešte logaritmické rovnice:

a) $\log \left (2x + 8 \right ) = 2$

b) $\log_{6} \left (2x + 8 \right ) = 2$

c) $\log_{4} \left (2x + 8 \right ) = 2$

d) $\log_{\frac{1}{3}} \left (2x + 8 \right ) = 2$

e) $\log \left (9 - x \right ) = 2$

f) $\log_{6} \left (9 - x \right ) = 2$

g) $\log_{2} \left (9 - x \right ) = 2$

h) $\log_{\frac{1}{3}} \left (9 - x \right ) = 2$

Řešení

a) $x=46$

b) $x=14$

c) $x=4$

d) $x=-\frac{71}{18}$

e) $x=-91$

f) $x=-27$

g) $x=5$

h) $x=\frac{80}{9}$

103. Graf lineární funkce

Načrtněte graf funkce

a) $y = -2x + 3$

b) $y = -\frac{1}{2}x + 1$

c) $y = \frac{1}{2}x + 1$

d) $y = \frac{3}{2}x - 1$

Řešení

104. Mocniny s přirozeným mocnitelem

Upravte jako mocniny prvočísel:

a) $\frac{2^{4}}{\left( 2^{2} \right )^{3}}$

b) $\frac{3^{3} \cdot 45^{3} \cdot 5^{2}}{5^{4} \cdot 3^{4}}$

c) $\frac{2^{2} \cdot \left( \frac{7}{2} \right )^{3}}{28^{3}}$

d) $\frac{2^{3} \cdot 36^{2}}{\left( \frac{4}{9} \right )^{2}}$

e) $\frac{\left( \frac{4}{25} \right )^{2} \cdot \left( 2^{2} \right )^{3}}{10^{3} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}}$

f) $\frac{\left( 7^{2} \right )^{4} \cdot 7^{4}}{7^{2} \cdot 14^{2} \cdot \left( \frac{7}{2} \right )^{2}}$

g) $\frac{5^{2} \cdot \left( \frac{9}{25} \right )^{2} \cdot \left( \frac{3}{5} \right )^{2}}{\left( \frac{3}{5} \right )^{2} \cdot \left( 75^{2} \right )^{3} \cdot 5^{2} \cdot \left( \frac{5}{3} \right )^{3}}$

h) $\frac{\left( \frac{3}{7} \right )^{3} \cdot \left( 7^{4} \right )^{4}}{\left( \frac{49}{9} \right )^{3}}$

i) $\frac{\left( 2^{2} \right )^{4} \cdot \left( \frac{2}{5} \right )^{2}}{2^{3} \cdot \left( \frac{4}{25} \right )^{3}}$

j) $\frac{28^{2} \cdot 7^{2} \cdot \left( \frac{7}{2} \right )^{2}}{\left( 7^{2} \right )^{3} \cdot \left( 7^{2} \right )^{2}}$

k) $\frac{\left( 6^{3} \right )^{2} \cdot \left( 2^{4} \right )^{4}}{\left( 2^{4} \right )^{2} \cdot 2^{4} \cdot 2^{3}}$

l) $\frac{\left( \frac{5}{7} \right )^{3} \cdot 35^{3}}{\left( \frac{25}{49} \right )^{2} \cdot 7^{4}}$

Řešení

a) $\frac{ 1 }{ 2^{2} }$

b) $3^{5} \cdot 5$

c) $\frac{ 1 }{ 2^{7} }$

d) $2^{3} \cdot 3^{8}$

e) $\frac{ 2^{3} }{ 5^{7} }$

f) $7^{6}$

g) $\frac{ 3 }{ 5^{19} }$

h) $7^{7} \cdot 3^{9}$

i) $5^{4} \cdot 2$

j) $\frac{ 2^{2} }{ 7^{4} }$

k) $2^{7} \cdot 3^{6}$

l) $5^{2}$

105. Mocniny s přirozeným mocnitelem

Upravte jako mocniny prvočísel:

a) $\frac{\left( 2^{2} \right )^{4}}{36^{2} \cdot 2^{3}}$

b) $\frac{7^{3} \cdot \left( \frac{25}{49} \right )^{2}}{5^{3}}$

c) $\frac{\left( 5^{4} \right )^{3} \cdot 3^{2}}{5^{3} \cdot 45^{2} \cdot 5^{4}}$

d) $\frac{2^{3} \cdot \left( \frac{7}{2} \right )^{3} \cdot 7^{4} \cdot 7^{3}}{\left( 14^{3} \right )^{3} \cdot 7^{3}}$

e) $\frac{2^{3} \cdot \left( \frac{2}{7} \right )^{3} \cdot 7^{2}}{2^{3} \cdot \left( \frac{4}{49} \right )^{3} \cdot \left( \frac{7}{2} \right )^{2}}$

f) $\frac{2^{4} \cdot \left( 3^{3} \right )^{2} \cdot \left( 2^{4} \right )^{3} \cdot 3^{4} \cdot 2^{3}}{\left( 2^{3} \right )^{3}}$

g) $\frac{2^{3} \cdot 5^{4} \cdot 5^{2}}{\left( \frac{2}{5} \right )^{2} \cdot 5^{4}}$

h) $\frac{7^{2} \cdot 7^{4}}{\left( \frac{49}{9} \right )^{3} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}}$

i) $\frac{2^{4} \cdot 98^{3}}{\left( 2^{3} \right )^{3} \cdot \left( 7^{2} \right )^{3}}$

j) $\frac{5^{3} \cdot 20^{3}}{\left( 10^{3} \right )^{3} \cdot \left( \frac{5}{2} \right )^{3}}$

k) $\frac{\left( \frac{7}{5} \right )^{3} \cdot 175^{3} \cdot 5^{4}}{\left( 7^{3} \right )^{2} \cdot 35^{2}}$

l) $\frac{5^{3} \cdot \left( \frac{2}{5} \right )^{2} \cdot 5^{3}}{20^{2} \cdot \left( \frac{4}{25} \right )^{3} \cdot \left( 5^{4} \right )^{2}}$

Řešení

a) $\frac{ 2 }{ 3^{4} }$

b) $\frac{ 5 }{ 7^{1} }$

c) $\frac{ 5^{3} }{ 3^{2} }$

d) $\frac{ 1 }{ 7^{2} \cdot 2^{9} }$

e) $\frac{ 7^{3} }{ 2 }$

f) $3^{10} \cdot 2^{10}$

g) $5^{4} \cdot 2$

h) $3^{2}$

i) $\frac{ 1 }{ 2^{2} }$

j) $\frac{ 1 }{ 5^{6} }$

k) $\frac{ 5^{5} }{ 7^{2} }$

l) $\frac{ 1 }{ 2^{8} }$

106. Mocniny s přirozeným mocnitelem

Upravte jako mocniny prvočísel:

a) $\frac{10^{2} \cdot 2^{2}}{\left( 5^{2} \right )^{2}}$

b) $\frac{5^{4} \cdot 2^{4} \cdot 2^{4} \cdot 5^{2}}{\left( 5^{4} \right )^{2}}$

c) $\frac{14^{2} \cdot 98^{2}}{7^{3} \cdot 2^{4}}$

d) $\frac{\left( 2^{2} \right )^{4}}{36^{2} \cdot 2^{3}}$

e) $\frac{6^{2} \cdot 18^{3}}{2^{4}}$

f) $\frac{\left( 3^{2} \right )^{2}}{\left( \frac{4}{9} \right )^{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right )^{2} \cdot \left( 6^{3} \right )^{2}}$

g) $\frac{5^{3} \cdot 175^{3} \cdot 245^{3} \cdot 7^{3}}{\left( \frac{5}{7} \right )^{3} \cdot 7^{4} \cdot 1225^{3}}$

h) $\frac{\left( \frac{2}{5} \right )^{3} \cdot \left( 100^{2} \right )^{3}}{\left( 50^{2} \right )^{3} \cdot \left( \frac{4}{25} \right )^{2}}$

i) $\frac{3^{2} \cdot \left( \frac{9}{49} \right )^{3} \cdot \left( \frac{49}{9} \right )^{3}}{7^{2} \cdot 3^{2}}$

j) $\frac{10^{2}}{2^{2} \cdot \left( \frac{5}{2} \right )^{2}}$

k) $\frac{\left( \frac{5}{2} \right )^{2} \cdot 2^{4}}{\left( \frac{25}{4} \right )^{3} \cdot \left( 2^{3} \right )^{2} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3}}$

l) $\frac{\left( \frac{7}{3} \right )^{3} \cdot 3^{2}}{3^{2} \cdot 63^{3}}$

Řešení

a) $\frac{ 2^{4} }{ 5^{2} }$

b) $\frac{ 2^{8} }{ 5^{2} }$

c) $7^{3}$

d) $\frac{ 2 }{ 3^{4} }$

e) $3^{8} \cdot 2$

f) $\frac{ 1 }{ 2^{8} }$

g) $7^{5} \cdot 5^{3}$

h) $5 \cdot 2^{5}$

i) $\frac{ 1 }{ 7^{2} }$

j) $2^{2}$

k) $\frac{ 1 }{ 5^{4} \cdot 2^{4} }$

l) $\frac{ 1 }{ 3^{9} }$

107. Algebraické výrazy

Zjednodušte výraz

$\frac{2x}{x-2}-\frac{7}{x+2}-\frac{x^{2}+x+10}{x^{2}-4}$

Řešení

$\frac{x-2}{x+2} ; \left (x\neq \pm 2 \right )$

108. Body náležící kvadratické funkci

Jsou dány body A[0;-6], B[2;-4] a C[3;6]. Tyto body náleží kvadratické funkci.

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.

Řešení

$y = 3x^{2}-5x-6$

109. Z9-I-1 2022

Bolek a Lolek měli každý svou aritmetickou posloupnost. Jak Lolkova, tak Bolkova posloupnost začínala číslem 2 023 a končila číslem 3 023 Tyto dvě posloupnosti měly 26 společných čísel. Poměr Bolkovy a Lolkovy diference byl 5:2.

Vypočítejte, jaký byl rozdíl Bolkovy a Lolkovy diference.

Řešení

Rozdíl Bolkovy a Lolkovy diference je 12.

110. Kvadratická funkce

Je dána kvadratická funkce f: $y = x^2-2x-8$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) vrchol paraboly

f) zda je funkce f sudá nebo lichá

g) v kterých intervalech funkce f roste

h) v kterých intervalech funkce f klesá

i) zda je funkce f prostá

j) inverzní funkci k funkci f

k) načrtněte graf paraboly

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= \left \langle -9; \infty \right )$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-8 \right ]$

d) Průsečíky s osou x jsou $P_{x1} \left [-2;0 \right ]; P_{x2} \left [4;0 \right ]$

e) Vrchol paraboly je $V \left [1;-9 \right ]$

f) Funkce f není ani sudá ani lichá

g) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( 1; \infty \right )$

h) Funkce f je klesající v intervalu $\left ( -\infty; 1 \right )$

i) Funkce f není prostá.

j) Inverzní funkce k funkci f neexistuje.

111. Exponenciální rovnice

Řešte rovnice

a) $\frac{625^{1-x}\cdot 25^{x-1}}{3125^{x}}=5\cdot \frac{1}{5^{6x}}$

b) $0,25^{2-x}=\frac{256}{2^{x+3}}$

c) $\left (\frac{1}{8}\right )^{-x}=\left (\frac{1}{32}\right )^{1-x}$

d) $3^{2x-3}-9^{x-1}+27^{\frac{2x}{3}}=675$

e) $3 \cdot 3^{2x+1}=3^{x+2}-1-6\cdot 3^{x}+3^{2(x+1)}$

f) $6^{x}-4\cdot 3^{x}=3\cdot 2^{x}-12$

Řešení

a) $K=\left \{ 1 \right \}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}$

c) $K=\left \{ \frac{5}{2} \right \}$

d) $K=\left \{ 3 \right \}$

e) $K=\left \{ -1 \right \}$

f) $K=\left \{ 1;2 \right \}$

112. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice v R

a) $x^2-4x-21 \geq 0$

b) $x^2-36 \leq 0$

c) $-x^2+x+20 > 0$

d) $x^2-6x+9 < 0$

e) $x^2+1 \geq 0$

f) $-x^2-5 \leq 0$

g) $x^2-2x+1 \leq 0$

h) $2x^2+5x-3 \geq 0$

Řešení

a) $x \in \left ( - \infty ; -3 \right \rangle \cup \left \langle 7; \infty \right )$

b) $x \in \left \langle -6; 6 \right \rangle$

c) $x \in \left ( -4; 5 \right )$

d) nemá řešení v R

e) $x \in \left ( -\infty; \infty \right )$

f) $x \in \left ( -\infty; \infty \right )$

g) $x = 1$

h) $x \in \left ( - \infty ; -3 \right \rangle \cup \left \langle \frac{1}{2}; \infty \right )$

113. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\left (2x - 2 \right )^2-3x \left (x-3 \right ) \leq 19-x$

b) $\left (2 - 3x \right ) - \left (x - 1 \right ) \geq - 4 - \left (x-1 \right )^2$

c) $-2 \left (x^2 - 1 \right ) + 2 \left (1 - x \right ) - 5 \leq 0$

d) $x^2 - 3x + 7 > 5x + 16$

e) $x^2-\left (x - 1 \right )^2 > x \left (x - 1 \right ) + 1$

f) $\left (x + 1 \right )^2 - 2 \left (x + 1 \right ) + 1 \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle -5; 3 \right \rangle$

b) $x \in \left ( - \infty ; 2 \right \rangle \cup \left \langle 4; \infty \right )$

c) $x \in \left ( - \infty ; \infty \right )$

d) $x \in \left ( - \infty ; -1 \right ) \cup \left ( 9; \infty \right )$

e) $x \in \left ( 1 ; 2 \right )$

f) $x \in \left \{0\right \}$

114. Graf kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce prochází body A[1;1], B[3;-1] a C[1;2].

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.

Řešení

$y=2,5x^{2}-9,5x+8$

115. Nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\frac{2x-3}{3}+\frac{3x-2}{2}\geq\frac{1}{6}$

b) $\frac{2x+1}{3}<\frac{2x-1}{5}$

c) $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+6}{2}<0$

d) $\frac{x+1}{4}-\frac{x-1}{2}-3<\frac{2x-1}{2}$

e) $\frac{2x-17}{4}-\frac{8-x}{2}-2\leq x-4+\frac{x}{8}$

f) $\frac{x-5}{3}+2\leq \frac{2-x}{5}$

Řešení

a) $x \in \left \langle 1;\infty \right )$

b) $x \in \left (-\infty; -2 \right )$

c) $x \in \left (-\infty; 20 \right )$

d) $x \in \left (-\frac{7}{5}; \infty \right )$

e) $x \in \left \langle -50;\infty \right )$

f) $x \in \left (-\infty; \frac{1}{8} \right \rangle$

116. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{11+3x}{x+3}-\frac{5x}{x-4}+\frac{x}{x^{2}-x-12}+2=0$

b) $\frac{1}{x+4}+\frac{x^{2}-20}{x^{2}-16}=1$

c) $\frac{2x}{x+3}-\frac{2x}{x-3}=\frac{72}{4x^{2}-36}$

d) $\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{8x}{1-4x^{2}}$

Řešení

a) $K=\left \{ -4 \right \}; x\neq -3\vee x\neq 4$

b) $K=\left \{ 8 \right \}; x\neq \pm{4}$

c) $K=\left \{ -\frac{3}{2} \right \}; x\neq \pm{3}$

d) $K= \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\}$

117. Rovnice

Řešte rovnici a určete, pro jaké x nemá rovnice smysl.

$\frac{12x^{2}+30x-21}{16x^{2}-9}=\frac{3x-7}{3-4x}+\frac{6x+5}{4x+3}$

Řešení

$K=\left \{ 3 \right \}; x\neq \pm{\frac{3}{4}}$

118. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $x-3+\frac{1}{x-2}=x-4-\frac{2x-3}{2-x}$

b) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{x^{2}+6}$

c) $\frac{5}{2x-3}-\frac{3x-8}{4x-6}=\frac{7}{9}-\frac{6x-1}{10x-15}$

d) $\frac{5}{2x-3}+\frac{3x+8}{4x-6}=\frac{7}{6}-\frac{6x-2}{10x-15}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq \2$

b) $K=\left \{ -12 \right \}; x\neq 3\vee x\neq -2$

c) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

d) $K=\left \{ -33 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

119. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $5+\frac{3}{3x-12}=\frac{5-x}{x-4}$

b) $\frac{7x+2}{3x-2}-\frac{9}{4-6x}=\frac{10x-4}{9x-6}-\frac{1}{16}$

c) $\frac{4}{(x-1)(x+3)}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x+3}$

d) $\frac{3}{(2x+5)^{2}}+\frac{4}{(2x+1)^{2}}=\frac{7}{(2x+5)(2x+1)}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq 4$

b) $K=\left \{ -2 \right \}; x\neq \frac{2}{3}$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq -1\vee x\neq -3$

d) $K=\left \{ -\frac{17}{2} \right \}; x\neq -\frac{5}{2}\vee x\neq-\frac{1}{2}$

120. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{2}{(1-3x)(3x+11)}=\frac{1}{(3x-1)^{2}}-\frac{3}{(3x+11)^{2}}$

b) $\frac{1}{x-2}-\frac{x-3}{x+4}=\frac{6}{x^{2}+2x-8}-1$

c) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{2}{x+2}-1=\frac{6}{x^{2}+x-2}$

d) $1+\frac{2x}{x+4}-\frac{15}{2x^{2}+7x-4}=\frac{6x}{2x-1}$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{2}{3} \right \}; x\neq \frac{1}{3}\vee x\neq -\frac{11}{3}$

b) $K=\left \{ \right \}; x\neq 2\vee x\neq -4$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq 1\vee x\neq -2$

d) $K=\left \{ -1 \right \}; x\neq -4\vee x\neq\frac{1}{2}$

4 567 8

Střední škola

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení