Úlohy: 61–80 / 165

61. Krabičky v krychli

Krabičky o rozměrech 6 cm, 10 cm, 15 cm se mají rovnat do krabice tvaru krychle.

Vypočítejte:
a)   jaké nejmenší rozměry může krabice mít,
b)   kolik krabiček daných rozměrů se do ní vejde.
Řešení
a)   Nejmenší rozměr strany krabice je 30 cm.
b)   Do nejmenší možné krabice se vejde 30 krabiček.

62. Algebraické výrazy

Zjednodušte výraz
Řešení

63. Cyklistický závod

Cyklisté při závodě ujeli z celkové délky a do cíle jim zbývá 72 km.

Určete:
a)   jak dlouhý byl závod,
b)   kolik procent závodu budou mít cyklisté za sebou po ujetí 94,50 kilometrů.
Řešení
a)   Závod byl dlouhý 126 kilometrů.
b)   Cyklisté budou mít za sebou 75 procent závodu.
c)   

64. Z9-I-1 2022

Bolek a Lolek měli každý svou aritmetickou posloupnost. Jak Lolkova, tak Bolkova posloupnost začínala číslem 2 023 a končila číslem 3 023 Tyto dvě posloupnosti měly 26 společných čísel. Poměr Bolkovy a Lolkovy diference byl 5:2.

Vypočítejte, jaký byl rozdíl Bolkovy a Lolkovy diference.
Řešení
Rozdíl Bolkovy a Lolkovy diference je 12.

65. Výroba šroubů

V továrně vyrobí 12 linek dané množství šroubů za 16 dní.

Vypočítejte, o kolik dní se výroba prodlouží, pokud se 4 linky pokazí.
Řešení
Výroba se prodlouží o 8 dní.

66. Graf kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce prochází body A[1;1], B[3;-1] a C[1;2].

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.
Řešení

67. Lektvar věčného mládí

Čarodějnice připravuje lektvar věčného mládí. V receptu se dočetla, že objem lektvaru je tvořen ze dvou devítin z tekutého jedu ropuchy, z šesti patnáctin z nektaru mandragory a zbytek tvoří 34 mililitrů vody.

Vypočtěte, kolik mililitrů lektvaru čarodějnice podle tohoto receptu vyrobí.
Řešení
Čarodějnice připraví 90 ml lektvaru věčného mládí.

68. Dělitelnost

Je dáno číslo 123 456 789

a)   Určete jednu číslici, kterou je třeba vynechat, aby vzniklo co největší číslo dělitelné třemi.
b)   Určete jednu číslici, kterou je třeba vynechat, aby vzniklo co největší číslo dělitelné devíti.
Řešení
a)   Je třeba vynechat číslici 3.
b)   Je třeba vynechat číslici 9.

69. Čtyřciferná čísla

Najděte:
a)   nejmenší čtyřciferné číslo dělitelné šesti,
b)   největší čtyřciferné číslo dělitelné šesti.
Řešení
a)   Nejmenší čtyřciferné číslo dělitelné šesti je 1 002.
b)   Největší čtyřciferné číslo dělitelné šesti 9 996.

70. Tři strážní

Tři strážní mají společnou ostrahu podniku. První vykoná svoji pochůzku za 15 minut, druhý ujde svůj okruh za 10 minut a třetí strážný za 12 minut.

Vypočítejte, za jak dlouho se opět všichni tři potkají, když na začátku vyjdou ze stejného místa.
Řešení
Všichni tři strážní se opět potkají za 60 minut.

71. Aritmetická posloupnost

V aritmetické posloupnosti je dáno a1=4, Sn=589, d=3.

Vypočtěte, kolik členů má aritmetická posloupnost.
Řešení
Aritmetická posloupnost má 19 členů.

72. Běžky

Na školním lyžařském výletě vyjelo z chaty v 8 h 30 min. družstvo rychlostí 2 m/s. V 8 h 45 min. minut později za nimi vyjel stejnou trasou instruktor rychlostí 3 m/s.

a)   Vypočtěte:
b)   v kolik hodin dohonil instruktor družstvo,
c)   v kolik metrů od chaty to bylo.
Řešení
a)   Instruktor dohonil družstvo v čase 9:15.
b)   Bylo to 2 700 metrů od chaty.

73. Symetrické číslo

Je dáno číslo 346

Doplňte k danému číslu zepředu a zezadu co nejmenší počet cifer tak, aby vzniklo symetrické číslo dělitelné 5
Řešení
Vzniklé číslo je 5 643 465.

74. Nehodící se číslo

Jsou dána čísla 22, 368, 400, 602, 699, 978, 12 334.

Určete, které z těchto čísel nepatří mezi ostatní.
Řešení
Mezi ostatní nepatří číslo 699.

75. Společné čistění pozemku

Matěj dokáže vyčistit pozemek za 20 minut. Miloš dokáže vyčistit tentýž pozemek za 30 minut.

Vypočítejte, jak dlouho budou čistit pozemek Matěj s Milošem společně.
Řešení
Matěj s Milošem společně vyčistí pozemek za 12 minut.

76. Doplnění poměru

Doplň místo x takové číslo, aby platila rovnost.
a)   \( \frac{5}{6} = \frac{15}{x} \)
b)   \( \frac{3}{2} + 1 = \frac{x}{10} \)
Řešení
a)   18
b)   25

77. Skládání obdélníků

Je třeba naskládat obdélníky o rozměrech 210 mm a 84 mm tak, aby zakryly čtverec.

Vypočítejte:
a)   jaký nejmenší čtverec lze takto zakrýt,
b)   kolik obdélníků k tomu potřebujeme.
Řešení
a)   Lze zakrýt čtverec o délce strany 420 mm.
b)   Je potřeba 10 obdélníků.

78. Zkouškové období

200 studentů dělalo zkoušky z češtiny, matematiky a fyziky. 114 studentů složilo zkoušku z češtiny, 50 studentů udělalo zkoušku z matematiky a 41 studentů udělalo zkoušku z fyziky. Zkoušku z češtiny i matematiky udělalo 14 studentů, z matematiky i fyziky 15 studentů a z češtiny i fyziky 11 studentů. Všechny tři zkoušky udělalo 5 studentů.

Vypočítejte, kolik studentů neudělalo ani jednu zkoušku.
Řešení
Ani jednu zkoušku neudělalo 45 studentů.

79. Šestiboký hranol

Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm. Podstava hranolu vznikla ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 8 cm.

Vypočítejte objem šestibokého hranolu.
Řešení
Objem šestibokého hranolu je 320 cm3.

80. Úhlopříčky

Vypočítejte, kolik úhlopříček je v konvexním desetiúhelníku.
Řešení
V desetiúhelníku je 35 úhlopříček.