Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–20 / 30

1. Trojúhelník a čtverec

Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou dlouhou 5 cm a delší odvěsnou dlouhou 4 cm a čtverec KLMN, jehož obvod je stejný velký jako obvod trojúhelníku ABC.

Vypočítejte,

o kolik cm² větší či menší je obsah čtverce KLMN oproti trojúhelníku ABC.

Řešení

Obsah čtverce KLMN je o 3 cm² větší než obsah trojúhelníku ABC.

Matematická úloha – Trojúhelník a čtverec

2. Čtvercový pozemek

Čtvercový pozemek má výměru 16 arů.

Vypočítejte, kolik metrů je obvod pozemku.

Řešení

Obvod pozemku je 160 metrů.

3. Obvod trojúhelníku

Obvod trojúhelníku ABC je 109 cm. Strana \( b \) je o 10 cm větší než strana \( a \). Strana \( c \) je o 6 cm delší než strana \( a \).

Vypočítejte, kolik cm měří strana \( b \).

Řešení

Strana \( b \) měří 41 cm.

4. Pozemek ve tvaru lichoběžníku

Pozemek má tvar pravoúhlého lichoběžníku se základnami 21 m a 11,20 m. Při ceně 2 500 Kč za metr čtvereční je hodnota pozemku vyčíslena na 1 352 400 korun.

Vypočítejte, kolik metrů pletiva je potřeba k oplocení tohoto pozemku.

Řešení

Pro oplocení tohoto pozemku je potřeba 100,80 metrů pletiva.

Matematická úloha – Pozemek ve tvaru lichoběžníku

5. Oplocení lichoběžníkového pozemku

Pozemek na stavbu rodinných domů má tvar pravoúhlého lichoběžníku se základnami délek 21 m a 11,20 m. Při ceně 2 500 Kč za m² je hodnota pozemku vyčíslena na 1 352 400 korun.

Vypočítejte, jaká je délka pletiva potřebného k oplocení tohoto pozemku.

Řešení

Délka pletiva potřebného k oplocení pozemku je 100,80 metrů.

Matematická úloha – Oplocení lichoběžníkového pozemku

6. Rozměry trojúhelníku

V trojúhelníku ABC je dáno b = 5 cm, c = 6 cm, \( \alpha = 80 ^\circ \).

Vypočítejte

a) velikost strany a v cm,

b) úhel \( \beta \),

c) úhel \( \gamma \),

d) velikosti těžnice t_c v cm,

e) obsah trojúhelníku v cm².

Řešení

a) \( a \approx 7{,}11 \, \text{cm} \)

b) \( \beta \approx 43{,}8^\circ \)

c) \( \gamma \approx 56{,}2^\circ \)

d) \( t_c \approx 5{,}37 \, \text{cm} \)

e) \( S \approx 14{,}77 \, \text{cm}^2 \)

7. Poměr stran obdélníku

Obdélník má obvod 30 cm. Poměr délky a šířky je 2:3.

Vypočítejte:

a) délku obdélníku v cm,

b) šířku obdélníku v cm,

c) obsah obdélníku v cm².

Řešení

a) Délka obdélníku měří 6 cm.

b) Délka obdélníku měří 9 cm.

c) Obsah obdélníku je 54 cm².

Matematická úloha – Poměr stran obdélníku

8. Dětský bazén

Dětský bazén má tvar válce o průměru podstavy 4 m a hloubce 50 cm.

Vypočítejte a zaokrouhlete na 2 desetinná místa:

a) objem vody v litrech v bazénu, je-li naplněn po okraj,

b) objem vody v litrech v bazénu, je-li naplněn po 75 % výšky,

c) zamokřenou plochu bazénu v dm², je-li naplněn po 75 % výšky.

Řešení

a) Objem zcela naplněného bazénu je 6 283,19 litrů.

b) Objem bazénu naplněného do 75 % výšky je 4 712,39 litrů.

c) Je-li bazén naplněn po 75 % výšky, je jeho zamokřená plocha 172,79 dm².

9. Vystřižené rovnoramenné trojúhelníky

Jsou dány dva shodné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý má obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složíme rovnoběžník tak, že je k sobě přiložíme rameny. Poté z nich složíme kosočtverec tak, že je k sobě přiložíme základnami. Rovnoběžník má o 4 cm kratší obvod než kosočtverec.

Vypočítejte délky stran trojúhelníků.

Řešení

Základna má délku 32 cm, rameno má délku 34 cm.

Matematická úloha – Vystřižené rovnoramenné trojúhelníky

10. Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku

V rovnoramenném trojúhelníku je délka ramene 25 cm, výška trojúhelníku je 24 cm.

Vypočítejte:

a) délku základny v centimetrech,

b) obvod trojúhelníku v centimetrech,

c) obsah trojúhelníku v centimetrech čtverečných.

Řešení

a) Délka základny je 14 cm.

b) Obvod trojúhelníku je 64 cm.

c) Obsah trojúhelníku je 168 cm².

Matematická úloha – Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku

11. Dva čtverce

Jsou dány dva čtverce. První má délku strany 10 cm, druhý má délku strany 20 cm.

Zapište poměr:

a) délek jejich stran,

b) velikostí jejich obvodů,

c) velikostí jejich obsahů.

Řešení

a) Poměr délek stran čtverců je 1:2.

b) Poměr obvodů čtverců je 1:2.

c) Poměr obsahů čtverců je 1:4.

12. Objem a povrch dětského bazénu

Dětský bazén má tvar válce o průměru podstavy 4 m a hloubce 50 cm.

Vypočítejte:

a) objem vody v litrech, který může být v bazénu, je-li naplněn po okraj (zaokrouhlete na celé litry),

b) kolik litrů vody bude v bazénu, pokud bazén naplníme jen na do tří čtvrtin výšky (zaokrouhlete na celé litry),

c) jak velkou plochu v m² je třeba vymalovat, chceme-li vymalovat stěnu bazénu zevnitř beze dna (zaokrouhlete na dvě desetinná místa).

Řešení

a) Objem vody v bazénu je 6 283 litrů.

b) Pokud bude bazén naplněn do tří čtvrtin výšky, bude v něm 4 712 litrů vody.

c) Je potřeba vymalovat 6,28 m² plochy.

Matematická úloha – Objem a povrch dětského bazénu

13. Cesty v parku

Cesty v parku tvoří pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají na plánku s měřítkem 1:200 rozměry délek stran 9 cm a 12 cm. Babička chodí každý den po této trase na zdravotní procházku.

Vypočítejte

a) kolik m² zabírá plocha ohraničená těmito cestami,

b) kolikrát musí babička projít všechny tři cesty, aby nachodila alespoň 1,50 km.

Řešení

14. Obcházení bazénu

Radka obešla 2× bazén. Udělala při tom 160 kroků. Když šla podél delší strany bazénu, udělala 25 kroků. Krok Radky je dlouhý 50 cm.

Vypočítejte v m² plochu bazénu.

Řešení

Bazén zabírá plochu 93,75 m².

15. Pozemek tvaru lichoběžníku

Pozemek tvaru pravoúhlého lichoběžníku má základny dlouhé 102 m a 86 m. Kolmé rameno má délku 63 m.

Vypočítejte

a) obsah pozemku,

b) obvod pozemku.

Řešení

a) Obsah pozemku je 5 922 m²m

b) obvod pozemku 316 metrů.

Matematická úloha – Pozemek tvaru lichoběžníku

16. Minutová a sekundová ručička

Minutová ručička je třikrát delší než sekundová.

Vypočítejte, kolikrát větší je rychlost koncového bodu sekundové ručičky než minutové ručičky.

Řešení

Rychlost koncového bodu sekundové ručičky je 20krát větší.

Matematická úloha – Minutová a sekundová ručička

17. Obvod trojúhelníku

Vypočítej obvod trojúhelníku ABC, pokud víš, že je podobný trojúhelníku EFG, ve kterém |FG| = 144 mm, |EG| = 164 mm, |EF| = 92 mm a poměr podobnosti je 4.

Vypočítejte v cm obvod trojúhelníku ABC.