Úlohy: 1–3 / 3

1
Přehled ročníků

1. Hodnost matic 2

Určete hodnost následujících matic:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 4 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( \text{hodnost}(A) = 1 \)
b)   \( \text{hodnost}(B) = 3 \)
c)   \( \text{hodnost}(C) = 3 \)
d)   \( \text{hodnost}(D) = 2 \)
e)   \( \text{hodnost}(E) = 1 \)
f)   \( \text{hodnost}(F) = 3 \)

2. Determinant matic

Určete determinant matic převodem na trojúhelníkový tvar:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 4 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 4 & 7 & 3 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -1 \\ 5 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( \text{det}(A) = 7 \)
b)   \( \text{det}(B) = 63 \)
c)   \( \text{det}(C) = -3 \)
d)   \( \text{det}(D) = 10 \)
e)   \( \text{det}(E) = 12 \)
f)   \( \text{det}(F) = -54 \)

3. Hodnost matic 1

Určete hodnost následujících matic:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   Hodnost 2, matice je singulární.
b)   Hodnost 3, matice je regulární.
c)   Hodnost 1, matice je singulární.
d)   Hodnost 3, matice je regulární.
e)   Hodnost 3, matice je regulární.
f)   Hodnost 2, matice je singulární.
 
1