Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–9 / 9

1

Přehled ročníků

1. Průsečík lineárních funkcí

Určete průsečík grafů lineárních funkcí:

a) \( f_1(x) = 4x - 3 \), \( f_2(x) = -x + 2 \)

b) \( f_1(x) = 4x - 1 \), \( f_2(x) = 2x + 5 \)

c) \( f_1(x) = 3x + 2 \), \( f_2(x) = 3x + 5 \)

d) \( f_1(x) = -x + 4 \), \( f_2(x) = 2x - 2 \)

e) \( f_1(x) = -10x - 14 \), \( f_2(x) = -10x - 14 \)

f) \( f_1(x) = x - 3 \), \( f_2(x) = -2x + 1 \)

g) \( f_1(x) = -3x + 6 \), \( f_2(x) = x + 2 \)

h) \( f_1(x) = 2x - 4 \), \( f_2(x) = -x + 5 \)

Řešení

a) [1, 1]

b) [3, 11]

c) nemá řešení

d) [2, 2]

e) nekonečně mnoho řešení

f) [ \(\frac{4}{3}\), \(-\frac{5}{3}\) ]

g) [1, 3]

h) [3, 2]

2. Průsečíky s osami

Vypočítejte průsečíky s osou \(x\) a osou \(y\) u grafů následujících funkcí.

a) \( y = 2x - 6 \)

b) \( y = -3x + 9 \)

c) \( y = \frac{1}{2}x - 4 \)

d) \( y = -5x + 15 \)

e) \( y = 4x + 8 \)

f) \( y = 7x \)

g) \( y = 5 \)

h) \( y = -2x + 10 \)

Řešení

a) \( P_x = [3, 0]; P_y = [0, -6]; \)

b) \( P_x = [3, 0]; P_y = [0, 9]; \)

c) \( P_x = [8, 0]; P_y = [0, -4]; \)

d) \( P_x = [3, 0]; P_y = [0, 15]; \)

e) \( P_x = [-2, 0]; P_y = [0, 8]; \)

f) \( P_x = [0, 0]; P_y = [0, 0]; \)

g) \( P_{x} \text{ neexistuje}; P_y = [0, 5]; \)

h) \( P_x = [5, 0]; P_y = [0, 10]; \)

3. Grafy lineárních funkcí

Jsou dány grafy lineárních funkcí.

Určete zpaměti funkční předpis.

a)

Graf lineární funkce

b)

Graf lineární funkce

c)

Graf lineární funkce

d)

Graf lineární funkce

Řešení

a) $f \left (x \right ) = 1$

b) $f \left (x \right ) = 3x - 1$

c) $f \left (x \right ) = \frac{3}{2}x - 1$

d) $f \left (x \right ) = - \frac{2}{3}x$

4. Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Načrtněte graf kvadratické funkce s absolutní hodnotou:

a) $f(x) =\left | 9 - x^{2} \right | + \left | 4 - x^{2} \right | - 5$

b) $f(x) =\left | x^{2} - x \right | + \left | x \right | - 2$

c) $f(x) = x^{2} - 3 \left | x \right |$

d) $f(x) = \left | x^{2} + 2 \left | x \right | - 3 \right |$

e) $f(x) = \left | 2 x + 1 \right | - x \left | x - 2 \right |$

f) $f(x) = x \left | x - 2 \right | + \left | x^{2} - 2 x \right |$

Řešení

a)

Kvadratická funkce s absolutní hodnotou

b)

Kvadratická funkce s absolutní hodnotou

c)

Kvadratická funkce s absolutní hodnotou

d)

Kvadratická funkce s absolutní hodnotou

e)

Kvadratická funkce s absolutní hodnotou

f)

Kvadratická funkce s absolutní hodnotou

5. Grafy lineárních funkcí

Jsou dány grafy lineárních funkcí.

Určete zpaměti funkční předpis.

a)

Graf lineární funkce

b)

Graf lineární funkce

c)

Graf lineární funkce

d)

Graf lineární funkce

Řešení

a) $f \left (x \right ) = - 2x + 2$

b) $f \left (x \right ) = \frac{1}{2}x - 3$

c) $f \left (x \right ) = \frac{1}{3}x$

d) $f \left (x \right ) = x - 2$

6. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = 2x+3$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;3 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [-\frac{3}{2};0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.$

j)

Graf funkce

7. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = \frac{1}{2}x-2$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-2 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [4;0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=2x+4.$

j)

Graf funkce

8. Kvadratická funkce

Je dána kvadratická funkce f: $y = x^2-2x-8$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) vrchol paraboly

f) zda je funkce f sudá nebo lichá

g) v kterých intervalech funkce f roste

h) v kterých intervalech funkce f klesá

i) zda je funkce f prostá

j) inverzní funkci k funkci f

k) načrtněte graf paraboly

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= \left \langle -9; \infty \right )$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-8 \right ]$

d) Průsečíky s osou x jsou $P_{x1} \left [-2;0 \right ]; P_{x2} \left [4;0 \right ]$

e) Vrchol paraboly je $V \left [1;-9 \right ]$

f) Funkce f není ani sudá ani lichá

g) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( 1; \infty \right )$

h) Funkce f je klesající v intervalu $\left ( -\infty; 1 \right )$

i) Funkce f není prostá.

j) Inverzní funkce k funkci f neexistuje.

k)

Graf funkce

9. Procenta z grafu

V grafu jsou tmavou barvou vyznačeny části celku.

Určete, kolik procent znázorňují.

a)

Procenta z grafu

b)

Procenta z grafu

c)

Procenta z grafu

Řešení

a) V grafu je znázorněno 50 %.

b) V grafu je znázorněno 25 %.

c) V grafu je znázorněno 75 %.

1