Matikář - kategorie úloh

1. Derivace funkcí

Vypočítejte derivace následujících funkcí:

a) \[ f(x) = x^2 \cdot e^x \]

b) \[ g(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \]

c) \[ h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \]

d) \[ k(x) = \sqrt{x^2 + 1} \]

e) \[ m(x) = e^{\sin(x)} \]

f) \[ p(x) = \ln(x^2 + 1) \]

Řešení

a) \[ f'(x) = e^x (2x + x^2) \]

b) \[g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}\]

c) \[h'(x) = \cos(2x)\]

d) \[k'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

e) \[m'(x) = e^{\sin(x)} \cos(x)\]

f) \[p'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]

2. Derivace složených funkcí

Určete derivace následujících funkcí:

a) \( f_1(x) = \sin(3x^2) \)

b) \( f_2(x) = \ln(\cos(x^2)) \)

c) \( f_3(x) = e^{x^3} \)

d) \( f_4(x) = \sqrt{2x^5 + 1} \)

e) \( f_5(x) = \tan(\ln(x)) \)

f) \( f_6(x) = \frac{1}{x^2 + e^{2x}} \)

g) \( f_7(x) = \sin(\sqrt{x}) \)

h) \( f_8(x) = \frac{\ln(x)}{x^3} \)

Řešení

a) \[ f_1'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x \]

b) \[ f_2'(x) = -2x \cdot \tan(x^2)\]

c) \[ f_3'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 \]

d) \[ f_4'(x) = \frac{5x^4}{\sqrt{2x^5 + 1}} \]

e) \[ f_5'(x) = \frac{1}{x \cdot \cos^2(\ln(x))} \]

f) \[ f_6'(x) = -\frac{2x + 2e^{2x}}{(x^2 + e^{2x})^2} \]

g) \[ f_7'(x) = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]

h) \[ f_8'(x) = \frac{1 - 3\ln(x)}{x^4} \]

3. Derivace polynomů

Určete derivace funkcí:

a) \( f_1(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 7 \)

b) \( f_2(x) = -2x^5 + 4x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x \)

c) \( f_3(x) = 5x^3 - 7x^2 + x - 8 \)

d) \( f_4(x) = -x^5 + 3x^4 - 2x^2 + x - 4 \)

e) \( f_5(x) = 6x^4 - 5x^3 + 4x - 9 \)

f) \( f_6(x) = -4x^5 + x^3 - 3x^2 + 7x \)

g) \( f_7(x) = 3x^4 - x^2 + 2x - 1 \)

h) \( f_8(x) = 5x^5 - 3x^4 + x^2 - 6 \)

Řešení

a) \( f'_1(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x - 1 \)

b) \( f'_2(x) = -10x^4 + 16x^3 - 3x^2 + 12x - 3 \)

c) \( f'_3(x) = 15x^2 - 14x + 1 \)

d) \( f'_4(x) = -5x^4 + 12x^3 - 4x + 1 \)

e) \( f'_5(x) = 24x^3 - 15x^2 + 4 \)

f) \( f'_6(x) = -20x^4 + 3x^2 - 6x + 7 \)

g) \( f'_7(x) = 12x^3 - 2x + 2 \)

h) \( f'_8(x) = 25x^4 - 12x^3 + 2x \)