Úlohy: 1–12 / 12

1
Přehled ročníků

1. Parametrické a obecné rovnice

Jsou dány parametrické rovnice.

Převeďte rovnice na obecný tvar:
a)   \( x = 2t + 1, \quad y = 3t - 4 \)
b)   \( x = t - 3, \quad y = 4t + 2 \)
c)   \( x = 5t + 2, \quad y = 6t - 1 \)
d)   \( x = -2t + 4, \quad y = t - 5 \)
e)   \( x = 3t + 7, \quad y = -t + 2 \)
f)   \( x = 4t - 6, \quad y = 2t + 8 \)
Řešení
a)   \( 3x - 2y - 11 = 0 \)
b)   \( 4x - y + 14 = 0 \)
c)   \( 6x - 5y - 17 = 0 \)
d)   \( x + 2y + 6 = 0 \)
e)   \( x + 3y - 13 = 0 \)
f)   \( 2x - 4y + 44 = 0 \)

2. Obecné a parametrické rovnice

Jsou zadané obecné rovnice přímek v rovině.

Převeďte rovnice na parametrický tvar:
a)   \( 2x + 3y - 6 = 0 \)
b)   \( x - 4y + 8 = 0 \)
c)   \( 3x + 2y - 12 = 0 \)
d)   \( 5x - y - 15 = 0 \)
e)   \( x + y - 7 = 0 \)
f)   \( 4x - 3y + 9 = 0 \)
Řešení
a)   \(x = t, \quad y = \frac{6 - 2t}{3}\)
b)   \(x = t, \quad y = \frac{t + 8}{4}\)
c)   \(x = t, \quad y = \frac{12 - 3t}{2}\)
d)   \(x = t, \quad y = 5t - 15\)
e)   \(x = t, \quad y = 7 - t\)
f)   \(x = t, \quad y = \frac{4t + 9}{3}\)

3. Úhly v trojúhelníku

Určete velikosti všech úhlů v trojúhelníku, který je zadán souřadnicemi tří bodů. Výsledky zapište ve stupních na dvě desetinná místa.
a)   \( A(1, 2), \quad B(4, 6), \quad C(7, 2). \)
b)   \( A(-2, 1), \quad B(3, 4), \quad C(1, -3). \)
c)   \( A(2, 3), \quad B(6, 3), \quad C(6, 7). \)
d)   \( A(1, 1), \quad B(4, 5), \quad C(7, 2). \)
Řešení
a)   \[ \alpha \approx 53.13^\circ, \quad \beta \approx 73.74^\circ, \quad \gamma \approx 53.13^\circ.\]
b)   \[ \alpha \approx 79.1^\circ, \quad \beta \approx 50.9^\circ, \quad \gamma \approx 50^\circ. \]
c)   \[ \alpha = 45^\circ, \quad \beta = 45^\circ, \quad \gamma = 90^\circ. \]
d)   \[ \alpha \approx 48.6^\circ, \quad \beta \approx 60^\circ, \quad \gamma \approx 71.4^\circ. \]

4. Průsečík dvou rovin

Najděte průsečík rovin:
a)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = 2 + s, \quad y = s + t, \quad z = 3 + t, \quad s, t \in \mathbb{R}.\] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = 4 + u, \quad y = 2u - v, \quad z = 5 - v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
b)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = s, \quad y = 2 + s + t, \quad z = 3 + t, \quad s, t \in \mathbb{R}. \] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = u + v, \quad y = 4 - u, \quad z = 6 + v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
c)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = 3 + s, \quad y = -s, \quad z = 2 - t, \quad s, t \in \mathbb{R}. \] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = 3 + 2u - v, \quad y = u - 2v, \quad z = 2 + u + v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
d)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = 1 + s, \quad y = 1 + t, \quad z = 1 + t, \quad s, t \in \mathbb{R}.\] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = 2 + u, \quad y = 2 - v, \quad z = 2 - v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
Řešení
a)   \[ x = 4, \quad y = 8 - v, \quad z = 5 - v, \quad v \in \mathbb{R}. \]
b)   \[ x = -\frac{1}{2} + v, \quad y = \frac{9}{2} + v, \quad z = 6 + v, \quad v \in \mathbb{R}. \]
c)   \[ x = 3 + v, \quad y = -v, \quad z = 2 + 2v, \quad v \in \mathbb{R}. \]
d)   \[ x = 1 + v, \quad y = 2 - v, \quad z = 2 - v, \quad v \in \mathbb{R}. \]

5. Průsečík dvou rovin

Jsou dány dvě roviny:

\( x + y - z = 0 \)

\( -2x + y - z + 3 = 0 \)

Určete průsečík těchto rovin.
Řešení
Průsečíkem rovin je přímka \( x + y - z = 0 \) a \( -2x + y - z + 3 = 0 \).

6. Průsečík rotačního paraboloidu a kulové plochy

Je dán rotační paraboloid \( z = x^2 + y^2 \) a kulovou plochu \( x^2 + y^2 + z^2 = 20 \).

Určete průsečík těchto dvou těles.
Řešení
Průsečík rotačního paraboloidu a kulové plochy je množina bodů ležících na kružnici v rovině \( z = 4 \), kde \( x^2 + y^2 = 4 \).

7. Body na jedné přímce

Rozhodněte, zda tři body leží na jedné přímce, nebo ne.
a)   A[1; 2], B[2; 4], C[3; 6]
b)   A[0; 0], B[1; 3], C[2; 5]
c)   A[-1; 2], B[0; 0], C[2; -4]
d)   A[1; 1], B[2; 3], C[4; 5]
e)   A[0; 1], B[2; 3], C[4; 5]
f)   A[2; -1], B[4; 1], C[6; 3]
Řešení
a)   1
b)   0
c)   1
d)   0
e)   1
f)   0

8. Existence pravoúhlého trojúhelníku

Jsou zadané body v rovině \( A[1; 1] \), \( B[2; 4] \), \( C[7; -1] \).

Určete, jestli zadané body tvoří pravoúhlý trojúhelník.
Řešení
Body \( A[1; 1] \), \( B[2; 4] \), \( C[7; -1] \) tvoří pravoúhlý trojúhelník.

9. Rovnice kružnice

Napište rovnici kružnice, která prochází body Q[3; 5], R[2; 6] a má střed na přímce .
Řešení

10. Vzdálenosti bodů

Jsou dány dvojice bodů v rovině.

Určete vzdálenost bodů v každé dvojici.
a)   A[-4;3], B[4;-3]
b)   C[-2;1], D[2;10]
c)   E[2;-1], F[-5;1]
d)   G[4;-3], H[-5;5]
Řešení
a)   10
b)    sqrt(97)
c)    sqrt(53)
d)    sqrt(145)

11. Graf kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce prochází body A[1;1], B[3;-1] a C[1;2].

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.
Řešení

12. Střed úsečky

Jsou dány dva body A[a1, 4] a B[7, -2]. Úsečka AB má střed, kde jsou obě souřadnice stejné.

Vypočítejte souřadnici a1.
Řešení
a1 = -5
 
1