Úlohy: 1–20 / 241

12345
Přehled ročníků

1. Modely dopravních prostředků

V hračkářství prodávali modely aut, vlaků a letadel. Za minulý měsíc prodali celkem 3600 modelů. Vlaků prodali o 40 % více než letadel. Aut prodali o 50 % více než vlaků.

Vypočítejte, kolik za minulý měsíc prodali:
a)   aut,
b)   vlaků,
c)   letadel.
Řešení
a)   Aut 1680,
b)   vlaků 1120,
c)   letadel 800.
Matematická úloha – Modely dopravních prostředků

2. Napouštění bazénu

Bazén má délku 20 metrů, šířku 12 m a hloubku 3 metry. Napouštěl se dva dny.

Druhý den se napustilo o 25 % více než první den.

Vypočítejte, kolik m3 se napustilo:
a)   první den,
b)   druhý den.
Řešení
a)   První den se napustilo 320 m3 vody.
b)   Druhý den se napustilo 400 m3 vody.
Matematická úloha – Napouštění bazénu

3. Hrabání sněhu před školou

Pan školník měl shrabat sníh v prostoru před školou. První hodinu shrabal 40 %, druhou hodinu polovinu zbytku a třetí hodinu shrabal zbylých 240 m2.

Vypočítejte, kolik m2 má prostor před školou.
Řešení
Celková plocha před školou je 640 m2.
Matematická úloha – Hrabání sněhu před školou

4. Natírání plotu

Tatínek s maminkou se rozhodli natřít plot. Když tatínek pracuje sám, zvládne práci za 6 hodin. Maminka by stejnou práci zvládla za 9 hodin.

Vypočítejte, kolik času jim bude trvat, než společně plot natřou. (Zapište v hodinách a minutách.)
Řešení
Tatínek a maminka společně natřou plot za 3 hodiny a 36 minut.
Matematická úloha – Natírání plotu

5. Lineární rovnice 2

Vyřešte lineární rovnice:
a)   \[ \frac{x}{3} + \frac{2x}{6} = 5 + 2x \]
b)   \[ \frac{3x}{4} - \frac{x}{2} = x + 1 \]
c)   \[ \frac{2x}{5} + 3 = \frac{4x}{10} + 6 \]
d)   \[ \frac{5x}{6} + 2 = \frac{x}{3} + 4 \]
e)   \[ \frac{3x}{8} - \frac{x}{4} = \frac{5}{2} - x \]
f)   \[ \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{4} + 2 \]
Řešení
a)   \[ x = -\frac{15}{4} \]
b)   \[ x = -\frac{4}{3} \]
c)   \[ \text{Rovnice nemá řešení.} \]
d)   \[ x = 4 \]
e)   \[ x = \frac{20}{9} \]
f)   \[ x = 4 \]
Matematická úloha – Lineární rovnice 2

6. Kvadratické nerovnice

Vyřešte kvadratické nerovnice:
a)   \(x^2 - 4x - 5 > 0\)
b)   \(x^2 + 3x - 10 \leq 0\)
c)   \(2x^2 - 8x \geq 0\)
d)   \(-x^2 + 5x + 14 < 0\)
e)   \(x^2 - 6x + 9 > 0\)
f)   \(2x^2 - 12x + 16 \leq 0\)
Řešení
a)   \((- \infty, -1) \cup (5, \infty)\)
b)   \(\langle -5, 2 \rangle\)
c)   \((- \infty, 0 \rangle \cup \langle 4, \infty)\)
d)   \(x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)\)
e)   \((- \infty, 3) \cup (3, \infty)\)
f)   \(\langle 2, 4 \rangle\)
Matematická úloha – Kvadratické nerovnice

7. Uložené peníze

Petr si založil spořicí účet, na který vložil 50 000 Kč. Banka nabízí roční úrokovou sazbu 3 % s ročním připisováním úroků (složené úročení). Peníze nechá na účtu 5 let.

Jakou částku bude mít Petr na účtu, pokud nebude vkládat ani vybírat peníze?
Řešení
Po 5 letech bude mít Petr na účtu přibližně 57 963,70 Kč.
Matematická úloha – Uložené peníze

8. Lineární nerovnice

Vyřešte lineární nerovnice:
a)   \[ \frac{2x}{5} - 1 \geq \frac{x}{3} + \frac{4}{5} \]
b)   \[ \frac{3x + 2}{4} \leq \frac{5x - 1}{6} \]
c)   \[ 4 - \frac{x}{2} \leq 2 + \frac{3x}{4} \]
d)   \[ \frac{2x}{3} - \frac{5}{4} \geq \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \]
e)   \[ \frac{7x + 5}{8} > \frac{3x}{4} \]
f)   \[ \frac{x - 1}{6} \leq \frac{2x + 2}{9} \]
Řešení
a)   \( x \in [27, \infty) \)
b)   \( x \in [8, \infty) \)
c)   \( x \in \left[\frac{8}{5}, \infty\right) \)
d)   \( x \in \left[\frac{7}{2}, \infty\right) \)
e)   \( x \in (-5, \infty) \)
f)   \( x \in [-7, \infty) \)
Matematická úloha – Lineární nerovnice

9. Kružnice opsaná a vepsaná

Je dán čtverec o obsahu 36 cm2.

Vypočítejte v centimetrech poloměr
a)   kružnice vepsaná,
b)   kružnice opsané.
Řešení
a)   Poloměr kružnice vepsané je 3 cm.
b)   Poloměr kružnice opsané je přibližně 4,24 cm.
Matematická úloha – Kružnice opsaná a vepsaná

10. Koupě auta

Petr si chce za dva roky koupit nové auto. Ví, že cena auta bude 600 000 Kč. Plánuje si peníze odkládat na spořicí účet s ročním úrokem 4 %, který se připisuje na konci každého roku.

Vypočítejte, kolik musí Petr vložit na tento účet dnes, aby měl za dva roky dostatek peněz na nákup auta.
Řešení
Petr musí vložit na účet částku 554 705 Kč.
Matematická úloha – Koupě auta

11. Plnění zásobníku vodou

Zásobník na vodu má tvar válce o poloměru základny 50 cm a výšce ( frac{3}{pi} , ext{m} ). Aktuálně je naplněn ze 40 %. Do zásobníku začala téct voda rychlostí 1 litr za 2 sekundy.

Vypočítejte, za jak dlouho bude zásobník naplněn z 90 %. (Zapište v minutách a sekundách.)
Řešení
Zásobník bude naplněn z 90 % za 12 minut 30 sekund.
Matematická úloha – Plnění zásobníku vodou

12. Cestující ve vlaku

Vlak má dva vagóny. Kdyby šest cestujících přestoupilo z prvního vagónu do druhého, bude ve druhém vagónu přesně dvojnásobek cestujících proti těm, co zůstanou v prvním vagónu. Kdyby ale přestoupilo šest cestujících z druhého vagónu do prvního, bude cestujících v obou vagónech stejně.

Vypočítejte, kolik je cestujících:
a)   v prvním vagónu,
b)   ve druhém vagónu.
Řešení
a)   V prvním vagónu je 30 cestujících,
b)   ve druhém vagónu je 42 cestujících.
Matematická úloha – Cestující ve vlaku

13. Výlet Jany a Petra

Petr a Jana se rozhodli jít na výlet. Petr vyrazil ze svého domu pěšky rychlostí 5 km/h v 8 hodin. Jana vyjela na kole rychlostí 15 km/h, ale kvůli pozdnímu startu vyrazila až v 8 hodin a 30 minut.

Vypočítejte,
a)   V kolik hodin Jana dožene Petra,
b)   jak daleko od jejich domu se setkají.
Řešení
a)   Jana dožene Petra za 15 minut (v 8 hodin 45 minut),
b)   setkají se ve vzdálenosti 3,75 km od domu.
Matematická úloha – Výlet Jany a Petra

14. Míchání roztoku

Máme připravit 1 500 ml nového roztoku o koncentraci 40 %. K dispozici máme dva roztoky:

Roztok A s koncentrací 25 %,

Roztok B s koncentrací 50 %.

Vypočítejte, kolik ml bude v novém roztoku:
a)   roztoku A,
b)   roztoku B.
Řešení
a)   600 ml roztoku A,
b)   900 ml roztoku B.
Matematická úloha – Míchání roztoku

15. Čokolády na tábor

Vedoucí tábora kupoval dětem čokolády a utratil za ně 860 Kč.

Větší stála 45 Kč a menší 25 Kč. Menších čokolád bylo o 12 více.

Vypočítejte, kolik bylo
a)   menších čokolád,
b)   větších čokolád.
Řešení
a)   Větších čokolád bylo 8.
b)   Menších čokolád bylo 20.
Matematická úloha – Čokolády na tábor

16. Peníze Dany a Běty

Dana má o třetinu více korun než Běta. Obě dívky dohromady mají 8 400 korun.

Vypočítejte, kolik korun má:
a)   Dana,
b)   Běta.
Řešení
a)   Dana má 4 800 korun,
b)   Běta má 3 600 korun.
Matematická úloha – Peníze Dany a Běty

17. Divadelní hlediště

V divadle bylo celkem 290 míst. Vstupenka na balkon stojí 300 Kč a do přízemí 450 Kč. Na představení bylo vyprodáno a vybralo se celkem 124 500 Kč.

Vypočítejte, kolik míst bylo na balkóně.
Řešení
Na balkóně bylo 40 míst.
Matematická úloha – Divadelní hlediště

18. Průsečík lineárních funkcí

Určete průsečík grafů lineárních funkcí:
a)   \( f_1(x) = 4x - 3 \), \( f_2(x) = -x + 2 \)
b)   \( f_1(x) = 4x - 1 \), \( f_2(x) = 2x + 5 \)
c)   \( f_1(x) = 3x + 2 \), \( f_2(x) = 3x + 5 \)
d)   \( f_1(x) = -x + 4 \), \( f_2(x) = 2x - 2 \)
e)   \( f_1(x) = -10x - 14 \), \( f_2(x) = -10x - 14 \)
f)   \( f_1(x) = x - 3 \), \( f_2(x) = -2x + 1 \)
g)   \( f_1(x) = -3x + 6 \), \( f_2(x) = x + 2 \)
h)   \( f_1(x) = 2x - 4 \), \( f_2(x) = -x + 5 \)
Řešení
a)   [1, 1]
b)   [3, 11]
c)   nemá řešení
d)   [2, 2]
e)   nekonečně mnoho řešení
f)   [ \(\frac{4}{3}\), \(-\frac{5}{3}\) ]
g)   [1, 3]
h)   [3, 2]
Matematická úloha – Průsečík lineárních funkcí

19. Průsečíky s osami

Vypočítejte průsečíky s osou \(x\) a osou \(y\) u grafů následujících funkcí.
a)   \( y = 2x - 6 \)
b)   \( y = -3x + 9 \)
c)   \( y = \frac{1}{2}x - 4 \)
d)   \( y = -5x + 15 \)
e)   \( y = 4x + 8 \)
f)   \( y = 7x \)
g)   \( y = 5 \)
h)   \( y = -2x + 10 \)
Řešení
a)   \( P_x = [3, 0]; P_y = [0, -6]; \)
b)   \( P_x = [3, 0]; P_y = [0, 9]; \)
c)   \( P_x = [8, 0]; P_y = [0, -4]; \)
d)   \( P_x = [3, 0]; P_y = [0, 15]; \)
e)   \( P_x = [-2, 0]; P_y = [0, 8]; \)
f)   \( P_x = [0, 0]; P_y = [0, 0]; \)
g)   \( P_{x} \text{ neexistuje}; P_y = [0, 5]; \)
h)   \( P_x = [5, 0]; P_y = [0, 10]; \)
Matematická úloha – Průsečíky s osami

20. Přečtená kniha

Adéla plánovala přečíst knihu za 6 dní. Nakonec ji ale přečetla za 5 dní, protože každý den přečetla o 4 víc, než plánovala.

Vypočítejte, kolik má kniha stran.
Řešení
Kniha má 120 stran.
Matematická úloha – Přečtená kniha
 
12345