Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 1–20 / 235

12 3 4 5

Přehled ročníků

1. Kružnice opsaná a vepsaná

Je dán čtverec o obsahu 36 cm².

Vypočítejte v centimetrech poloměr

a) kružnice vepsaná,

b) kružnice opsané.

Řešení

a) Poloměr kružnice vepsané je 3 cm.

b) Poloměr kružnice opsané je přibližně 4,24 cm.

2. Koupě auta

Petr si chce za dva roky koupit nové auto. Ví, že cena auta bude 600 000 Kč. Plánuje si peníze odkládat na spořicí účet s ročním úrokem 4 %, který se připisuje na konci každého roku.

Vypočítejte, kolik musí Petr vložit na tento účet dnes, aby měl za dva roky dostatek peněz na nákup auta.

Řešení

Petr musí vložit na účet částku 554 705 Kč.

Zásobník na vodu má tvar válce o poloměru základny 50 cm a výšce ( frac{3}{pi} , ext{m} ). Aktuálně je naplněn ze 40 %. Do zásobníku začala téct voda rychlostí 1 litr za 2 sekundy. Vypočítejte, za jak dlouho bude zásobník naplněn z 90 %.

Vypočítejte, za jak dlouho bude zásobník naplněn z 90 %. (Zapište v minutách a sekundách.)

Řešení

Zásobník bude naplněn z 90 % za 12 minut 30 sekund.

4. Cestující ve vlaku

Vlak má dva vagóny. Kdyby šest cestujících přestoupilo z prvního vagónu do druhého, bude ve druhém vagónu přesně dvojnásobek cestujících proti těm, co zůstanou v prvním vagónu. Kdyby ale přestoupilo šest cestujících z druhého vagónu do prvního, bude cestujících v obou vagónech stejně.

Vypočítejte, kolik je cestujících:

a) v prvním vagónu,

b) ve druhém vagónu.

Řešení

a) V prvním vagónu je 30 cestujících,

b) ve druhém vagónu je 42 cestujících.

5. Výlet Jany a Petra

Petr a Jana se rozhodli jít na výlet. Petr vyrazil ze svého domu pěšky rychlostí 5 km/h v 8 hodin. Jana vyjela na kole rychlostí 15 km/h, ale kvůli pozdnímu startu vyrazila až v 8 hodin a 30 minut.

Vypočítejte,

a) V kolik hodin Jana dožene Petra,

b) jak daleko od jejich domu se setkají.

Řešení

a) Jana dožene Petra za 15 minut (v 8 hodin 45 minut),

b) setkají se ve vzdálenosti 3,75 km od domu.

6. Míchání roztoku

Máme připravit 1 500 ml nového roztoku o koncentraci 40 %. K dispozici máme dva roztoky:

Roztok A s koncentrací 25 %,

Roztok B s koncentrací 50 %.

Vypočítejte, kolik ml bude v novém roztoku:

a) roztoku A,

b) roztoku B.

Řešení

a) 600 ml roztoku A,

b) 900 ml roztoku B.

7. Čokolády na tábor

Vedoucí tábora kupoval dětem čokolády a utratil za ně 860 Kč.

Větší stála 45 Kč a menší 25 Kč. Menších čokolád bylo o 12 více.

Vypočítejte, kolik bylo

a) menších čokolád,

b) větších čokolád.

Řešení

a) Větších čokolád bylo 8.

b) Menších čokolád bylo 20.

8. Peníze Dany a Běty

Dana má o třetinu více korun než Běta. Obě dívky dohromady mají 8 400 korun.

Vypočítejte, kolik korun má:

a) Dana,

b) Běta.

Řešení

a) Dana má 4 800 korun,

b) Běta má 3 600 korun.

9. Divadelní hlediště

V divadle bylo celkem 290 míst. Vstupenka na balkon stojí 300 Kč a do přízemí 450 Kč. Na představení bylo vyprodáno a vybralo se celkem 124 500 Kč.

Vypočítejte, kolik míst bylo na balkóně.

Řešení

Na balkóně bylo 40 míst.

10. Průsečík lineárních funkcí

Určete průsečík grafů lineárních funkcí:

a) $ f_1(x) = 4x - 3 $, $ f_2(x) = -x + 2 $

b) $ f_1(x) = 4x - 1 $, $ f_2(x) = 2x + 5 $

c) $ f_1(x) = 3x + 2 $, $ f_2(x) = 3x + 5 $

d) $ f_1(x) = -x + 4 $, $ f_2(x) = 2x - 2 $

e) $ f_1(x) = -10x - 14 $, $ f_2(x) = -10x - 14 $

f) $ f_1(x) = x - 3 $, $ f_2(x) = -2x + 1 $

g) $ f_1(x) = -3x + 6 $, $ f_2(x) = x + 2 $

h) $ f_1(x) = 2x - 4 $, $ f_2(x) = -x + 5 $

Řešení

a) [1, 1]

b) [3, 11]

c) nemá řešení

d) [2, 2]

e) nekonečně mnoho řešení

f) [ $\frac{4}{3}$, $-\frac{5}{3}$ ]

g) [1, 3]

h) [3, 2]

11. Průsečíky s osami

Vypočítejte průsečíky s osou $x$ a osou $y$ u grafů následujících funkcí.

a) $ y = 2x - 6 $

b) $ y = -3x + 9 $

c) $ y = \frac{1}{2}x - 4 $

d) $ y = -5x + 15 $

e) $ y = 4x + 8 $

f) $ y = 7x $

g) $ y = 5 $

h) $ y = -2x + 10 $

Řešení

a) $ P_x = [3, 0]; P_y = [0, -6]; $

b) $ P_x = [3, 0]; P_y = [0, 9]; $

c) $ P_x = [8, 0]; P_y = [0, -4]; $

d) $ P_x = [3, 0]; P_y = [0, 15]; $

e) $ P_x = [-2, 0]; P_y = [0, 8]; $

f) $ P_x = [0, 0]; P_y = [0, 0]; $

g) $ P_{x} \text{ neexistuje}; P_y = [0, 5]; $

h) $ P_x = [5, 0]; P_y = [0, 10]; $

12. Přečtená kniha

Adéla plánovala přečíst knihu za 6 dní. Nakonec ji ale přečetla za 5 dní, protože každý den přečetla o 4 víc, než plánovala.

Vypočítejte, kolik má kniha stran.

Řešení

Kniha má 120 stran.

13. Nákup čokolády

Velká čokoláda stojí o třetinu více než malá čokoláda. Dvě velké a tři malé čokolády stojí 255 korun. Vedoucí koupili dětem na tábor o 10 více malých čokolád než velkých čokolád a zaplatili za ně celkem 1 710 korun.

Vypočítejte:

a) kolik stála malá čokoláda,

b) kolik stála velká čokoláda,

c) kolik vedoucí koupili malých čokolád,

d) kolik vedoucí koupili velkých čokolád.

Řešení

a) Malá čokoláda stojí 45 korun.

b) Velká čokoláda stojí 60 korun.

c) Vedoucí koupili 12 velkých čokolád.

d) Vedoucí koupili 22 malých čokolád.

14. Limonády v obchodě

Limonáda se prodává v malých a velkých lahvích. Malá láhev má objem 7 dl, velká 12 dl. V obchodě je velkých láhví o 10 méně než malých a celkem v nich je 469 dl limonády.

Vypočítejte, kolik je v obchodě:

a) malých limonád,

b) velkých limonád.

Řešení

a) V obchodě je 31 malých lahví

b) V obchodě je 21 velkých lahví.

15. Děti a dospělí v kině

Dětský lístek do kina stál 100 korun, dospělácký stál 150 korun. V kině bylo celkem 37 návštěvníků a tržba za lístky byla 4 850 korun.

Vypočítejte, kolik bylo v kině:

a) dětí,

b) dospělých.

Řešení

a) V kině bylo 14 dětí.

b) V kině bylo 23 dospělých.

16. Bonbóny na regálu

Velký sáček bonbónů stojí 25 korun, malý sáček stojí 15 korun. V regálu jsou bonbóny celkem za 1 900 korun. Malých sáčků je o 12 více než velkých.

Vypočítejte, kolik bylo na regálu:

a) malých sáčků,

b) velkých sáčků.