Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–20 / 34

1. Úhly v trojúhelníku

Určete velikosti všech úhlů v trojúhelníku, který je zadán souřadnicemi tří bodů. Výsledky zapište ve stupních na dvě desetinná místa.

a) \( A(1, 2), \quad B(4, 6), \quad C(7, 2). \)

b) \( A(-2, 1), \quad B(3, 4), \quad C(1, -3). \)

c) \( A(2, 3), \quad B(6, 3), \quad C(6, 7). \)

d) \( A(1, 1), \quad B(4, 5), \quad C(7, 2). \)

Řešení

a) \[ \alpha \approx 53.13^\circ, \quad \beta \approx 73.74^\circ, \quad \gamma \approx 53.13^\circ.\]

b) \[ \alpha \approx 79.1^\circ, \quad \beta \approx 50.9^\circ, \quad \gamma \approx 50^\circ. \]

c) \[ \alpha = 45^\circ, \quad \beta = 45^\circ, \quad \gamma = 90^\circ. \]

d) \[ \alpha \approx 48.6^\circ, \quad \beta \approx 60^\circ, \quad \gamma \approx 71.4^\circ. \]

2. Obvod trojúhelníku

Obvod trojúhelníku ABC je 109 cm. Strana \( b \) je o 10 cm větší než strana \( a \). Strana \( c \) je o 6 cm delší než strana \( a \).

Vypočítejte, kolik cm měří strana \( b \).

Řešení

Strana \( b \) měří 41 cm.

3. Úhlopříčky v rovnoběžníku

Je dán rovnoběžník KLMN, ve kterém známe velikosti stran \( a = |KL| = 84,5 \, \mathrm{cm} \), \( d = |KN| = 47,8 \, \mathrm{cm} \) a velikost úhlu \( \alpha = \angle NKL = 56^\circ 40' \).

Vypočítejte v centimetrech velikost

a) úhlopříčky \( e = |KM| \),

b) úhlopříčky \( f = |LN| \).

Řešení

a) Úhlopříčka e je dlouhá 99,86 cm.

b) Úhlopříčka f je dlouhá 166,52 cm.

4. Rozhodni o podobnosti

Jsou dány trojúhelníky:

∆ ABC: a = 9 m, b = 17 m, c = 12 m,

∆ DEF: d = 207 dm, e = 341 dm, f = 394 dm.

Rozhodněte, jestli jsou trojúhelníky podobné.

Řešení

a) 0

b) 1

5. Vystřižené rovnoramenné trojúhelníky

Jsou dány dva shodné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý má obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složíme rovnoběžník tak, že je k sobě přiložíme rameny. Poté z nich složíme kosočtverec tak, že je k sobě přiložíme základnami. Rovnoběžník má o 4 cm kratší obvod než kosočtverec.

Vypočítejte délky stran trojúhelníků.

Řešení

Základna má délku 32 cm, rameno má délku 34 cm.

6. Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku

V rovnoramenném trojúhelníku je délka ramene 25 cm, výška trojúhelníku je 24 cm.

Vypočítejte:

a) délku základny v centimetrech,

b) obvod trojúhelníku v centimetrech,

c) obsah trojúhelníku v centimetrech čtverečných.

Řešení

a) Délka základny je 14 cm.

b) Obvod trojúhelníku je 64 cm.

c) Obsah trojúhelníku je 168 cm².

7. Cesty v parku

Cesty v parku tvoří pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají na plánku s měřítkem 1:200 rozměry délek stran 9 cm a 12 cm. Babička chodí každý den po této trase na zdravotní procházku.

Vypočítejte

a) kolik m² zabírá plocha ohraničená těmito cestami,

b) kolikrát musí babička projít všechny tři cesty, aby nachodila alespoň 1,50 km.

Řešení

8. Úhly v rovnoběžníku

Je dán rovnoběžník ABCD, délka jeho jedné úhlopříčky je rovna délce jeho jedné strany.

Vypočítejte, jakou velikost mají vnitřní úhly rovnoběžníku ABCD.

Řešení

Vnitřní úhly rovnoběžníku ABCD mají velikost 60 ° a 120 °.

9. Podobnost trojúhelníků

Trojúhelník ABC a trojúhelník ADE jsou podobné. Délka strany DE je 12 cm, délka strany BC je 16 cm a obsah trojúhelníku ADE je 27 cm².

Vypočítejte v centimetrech čtverečních obsah trojúhelníku ABC.

Řešení

Obsah trojúhelníku ABC je 48 cm².

10. Pozemek tvaru lichoběžníku

Pozemek tvaru pravoúhlého lichoběžníku má základny dlouhé 102 m a 86 m. Kolmé rameno má délku 63 m.

Vypočítejte

a) obsah pozemku,

b) obvod pozemku.

Řešení

a) Obsah pozemku je 5 922 m²m

b) obvod pozemku 316 metrů.

11. Pravoúhlý trojúhelník

Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří první 3 členy aritmetické posloupnosti. Obsah trojúhelníku je 600 cm².

Určete délky stran trojúhelníku.

Řešení

Délky stran trojúhelníku podle velikosti jsou 30, 40 a 50.

12. Trojboký hranol

Pravidelný trojboký hranol má délku podstavné hrany a = 6 cm a jeho výška je rovna délce podstavné hrany.

Vypočítejte objem pravidelného trojbokého hranolu. Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa.

Řešení

Objem pravidelného trojbokého hranolu je 93,53 cm³.

13. Obsahy trojúhelníků

Obsah pravoúhlého trojúhelníku KLM s pravým úhlem u vrcholu L je S = 60 cm² a jeho odvěsna |LM|=10 cm. Trojúhelníky KLM a RST jsou podobné, poměr podobnosti je k = 2,5.

Vypočítejte obsah trojúhelníku RST.

Řešení

Obsah trojúhelníku RST je 375 cm².

14. Obvod trojúhelníku

Vypočítej obvod trojúhelníku ABC, pokud víš, že je podobný trojúhelníku EFG, ve kterém |FG| = 144 mm, |EG| = 164 mm, |EF| = 92 mm a poměr podobnosti je 4.

Vypočítejte v cm obvod trojúhelníku ABC.

Řešení

Obvod trojúhelníku ABC je 160 cm.

15. Pochod z křižovatky

Na křižovatce dvou kolmých cest se rozdělila skupina turistů. Jedna skupina šla rychlostí 5,3 km/h. Druhá skupina 4,1 km/h.

Vypočtěte, kolik kilometrů byly od sebe obě skupiny vzdáleny po 1 h 25 min. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)

Řešení

Skupiny turistů byly od sebe vzdáleny 9,49 km.

16. Obvod trojúhelníku ABC

Je dán trojúhelník ABC. Délka strany a je rovna dvou třetinám strany c. Délka strany c je rovna třem pětinám délky strany b. Délka strany b je 15 cm.

Vypočítejte obvod trojúhelníku ABC.

Řešení

Obvod trojúhelníku ABC je 50 cm.

17. Zkouškové období

200 studentů dělalo zkoušky z češtiny, matematiky a fyziky. 114 studentů složilo zkoušku z češtiny, 50 studentů udělalo zkoušku z matematiky a 41 studentů udělalo zkoušku z fyziky. Zkoušku z češtiny i matematiky udělalo 14 studentů, z matematiky i fyziky 15 studentů a z češtiny i fyziky 11 studentů. Všechny tři zkoušky udělalo 5 studentů.

Vypočítejte, kolik studentů neudělalo ani jednu zkoušku.

Řešení

Ani jednu zkoušku neudělalo 45 studentů.

18. Vychýlená věž

Výška věže je 56 m a vrchol věže se nachází ve výšce 55,86 m.

Určete, o kolik metrů je věž vychýlená. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)

Řešení

Věž je vychýlená o 4,03 m.

19. Obsah trojúhelníku

Je dán trojúhelník ABC. Jeho obvod je 30 cm, přičemž strana a je o 2 cm delší než strana b a o 5 cm kratší než strana c.

Určete obsah trojúhelníku v cm² a zaokrouhlete na dvě desetinná místa.

Řešení

Obsah trojúhelníku 26,83 cm²

20. Vnitřní úhly trojúhelníku

Na hodinovém ciferníku navzájem spojíme body u čísel 3, 10 a 12, čímž vznikne trojúhelník.

Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku.

Řešení

a) Velikost úhlu u čísla 3 je 30 °, u čísla

b) 10 je to 45 ° a u čísla 12 je to 105 °.