Úlohy: 1–20 / 38

12
Přehled ročníků

1. Výška pravidelného čtyřbokého jehlanu

Pravidelný čtyřboký jehlan má objem 2 160 litrů a délku podstavné hrany 12 dm.

Vypočítejte výšku jehlanu.
Řešení
Výška jehlanu je 45 dm.

2. Kužel a válec

Rotační válec má objem 120 dm3. Rotační kužel má stejně velký objem i poloměr podstavy jako rotační válec.

Vypočítejte, o kolik procent je větší výška rotačního kužele než výška rotačního válce.
Řešení
Výška rotačního kužele je větší o 200 %.

3. Obsah obdélníku

Obsah obdélníku je 81,25 cm2. Zvětšíme-li jeho délku o 5 mm, zvětší se jeho obsah o 4 %.

Určete v milimetrech rozměry obdélníku.
Řešení
Šířka obdélníku je 125 mm, délka obdélníku je 65 mm.

4. Opsaná a vepsaná koule

Krychli o objemu 4 096 cm3 je opsána a vepsána koule.

Vypočítejte, kolikrát je větší objem opsané koule než koule vepsané. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)
Řešení
Objem opsané koule je 5,20krát větší než objem koule vepsané.

5. Úhly v rovnoběžníku

Je dán rovnoběžník ABCD, délka jeho jedné úhlopříčky je rovna délce jeho jedné strany.

Vypočítejte, jakou velikost mají vnitřní úhly rovnoběžníku ABCD.
Řešení
Vnitřní úhly rovnoběžníku ABCD mají velikost 60 ° a 120 °.

6. Pravidelný čtyřboký jehlan

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 288 dm³. Obvod jeho podstavy je stejně velký jako jeho výška.

Vypočítejte povrch jehlanu. (Výsledek zaokrouhlete na celé dm².)
Řešení
Povrch jehlanu je 326 dm².

7. Pozemek tvaru lichoběžníku

Pozemek tvaru pravoúhlého lichoběžníku má základny dlouhé 102 m a 86 m. Kolmé rameno má délku 63 m.

Vypočítejte
a)   obsah pozemku,
b)   obvod pozemku.
Řešení
a)   Obsah pozemku je 5 922 m2m
b)   obvod pozemku 316 metrů.

8. Pravoúhlý trojúhelník

Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří první 3 členy aritmetické posloupnosti. Obsah trojúhelníku je 600 cm2.

Určete délky stran trojúhelníku.
Řešení
Délky stran trojúhelníku podle velikosti jsou 30, 40 a 50.

9. Počet úhlopříček

Určete vztah na výpočet počtu úhlopříček v konvexním n-úhelníku.
Řešení

10. Parník a člun

V 6 hodin 30 minut vyplul z přístavu parník plující rychlostí 12 km/hod. Přesně v 10 hodin za ním vyplul motorový člun, který plul průměrnou rychlostí 40 km/hod.

Vypočtěte, v kolik hodin a po kolika kilometrech dohonil člun parník.
Řešení
Člun dohonil parník v 11 hodin60 kilometrech.

11. Strany obdélníku

Jedna strana obdélníku má délku 18 cm. Obvod obdélníku je 48 cm.

Vypočítejte délku druhé strany obdélníku.
Řešení
Druhá strana obdélníku má délku 6 cm.

12. Jízda automobilu po okruhu

Automobil projel jeden okruh neznámou stálou rychlostí, další dva stejné okruhy stálou rychlostí 72 km/hod. Celková průměrná rychlost byla 36 km/hod.

Určete rychlost, kterou automobil projel poprvé okruh.
Řešení
Automobil projel poprvé okruh rychlostí 18 km/hod.

13. Výroba šroubů

V továrně vyrobí 12 linek dané množství šroubů za 16 dní.

Vypočítejte, o kolik dní se výroba prodlouží, pokud se 4 linky pokazí.
Řešení
Výroba se prodlouží o 8 dní.

14. Zkouškové období

200 studentů dělalo zkoušky z češtiny, matematiky a fyziky. 114 studentů složilo zkoušku z češtiny, 50 studentů udělalo zkoušku z matematiky a 41 studentů udělalo zkoušku z fyziky. Zkoušku z češtiny i matematiky udělalo 14 studentů, z matematiky i fyziky 15 studentů a z češtiny i fyziky 11 studentů. Všechny tři zkoušky udělalo 5 studentů.

Vypočítejte, kolik studentů neudělalo ani jednu zkoušku.
Řešení
Ani jednu zkoušku neudělalo 45 studentů.

15. Šestiboký hranol

Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm. Podstava hranolu vznikla ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 8 cm.

Vypočítejte objem šestibokého hranolu.
Řešení
Objem šestibokého hranolu je 320 cm3.

16. Dětské a volejbalové hřiště

Ve městě se rozhodli, že postaví dětské a volejbalové hřiště. Volejbalové bude mít rozměr 12 m × 18,75 m. Dětská hřiště bude mít tvář čtverce. Plocha obou hřišť bude stejná.

Vypočítejte délku strany dětského hřiště.
Řešení
Délka strany dětského hřiště bude 15 m.

17. Myšlené přirozené číslo

Určete nejmenší přirozené číslo \( x \) takové, že \( 2x \) je druhá mocnina přirozeného čísla a \( 3x \) je třetí mocnina přirozeného čísla.
Řešení
x = 72

18. Obsah trojúhelníku

Je dán trojúhelník ABC. Jeho obvod je 30 cm, přičemž strana a je o 2 cm delší než strana b a o 5 cm kratší než strana c.

Určete obsah trojúhelníku v cm2 a zaokrouhlete na dvě desetinná místa.
Řešení
Obsah trojúhelníku 26,83 cm2

19. Seskok na Zemi a na Měsíci

Za bezpečný seskok je považován takový, při kterém člověk dopadne na zem maximální rychlostí 8 m/s. Zrychlení na Zemi je g = 10 ms-2 a zrychlení na Měsíci je 6krát menší než na Zemi.

Určete v metrech maximální výšku, ze které lze bezpečně skočit na Zemi a na Měsíci. (Zaokrouhlete na jedno desetinné místo.)
Řešení
Na Zemi lze bezpečně skočit z výšky 3,20 m, na Měsíci z výšky 19,20 m.

20. Vnitřní úhly trojúhelníku

Na hodinovém ciferníku navzájem spojíme body u čísel 3, 10 a 12, čímž vznikne trojúhelník.

Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku.
Řešení
a)   Velikost úhlu u čísla 3 je 30 °, u čísla
b)   10 je to 45 ° a u čísla 12 je to 105 °.
 
12