Úlohy: 1–8 / 8

1
Přehled ročníků

1. Goniometrické rovnice 1

Vyřešte goniometrické rovnice:
a)   \[\sin x = \frac{1}{2}\]
b)   \[\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
c)   \[\tan x = \sqrt{3}\]
d)   \[\sin^2 x = \frac{3}{4}\]
e)   \[\cos 2x = 0\]
f)   \[\tan^2 x = 3\]
Řešení
a)   \[x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \lor x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\]
b)   \[x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \lor x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\]
c)   \[x = \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\]
d)   \[x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \lor x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \lor x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \lor x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\]
e)   \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\]
f)   \[x = \frac{\pi}{3} + k\pi \lor x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\]
Matematická úloha – Goniometrické rovnice 1

2. Rozměry trojúhelníku

V trojúhelníku ABC je dáno b = 5 cm, c = 6 cm, \( \alpha = 80 ^\circ \).

Vypočítejte
a)   velikost strany a v cm,
b)   úhel \( \beta \),
c)   úhel \( \gamma \),
d)   velikosti těžnice tc v cm,
e)   obsah trojúhelníku v cm2.
Řešení
a)   \( a \approx 7{,}11 \, \text{cm} \)
b)   \( \beta \approx 43{,}8^\circ \)
c)   \( \gamma \approx 56{,}2^\circ \)
d)   \( t_c \approx 5{,}37 \, \text{cm} \)
e)   \( S \approx 14{,}77 \, \text{cm}^2 \)

3. Úhlopříčky v rovnoběžníku

Je dán rovnoběžník KLMN, ve kterém známe velikosti stran \( a = |KL| = 84,5 \, \mathrm{cm} \), \( d = |KN| = 47,8 \, \mathrm{cm} \) a velikost úhlu \( \alpha = \angle NKL = 56^\circ 40' \).

Vypočítejte v centimetrech velikost
a)   úhlopříčky \( e = |KM| \),
b)   úhlopříčky \( f = |LN| \).
Řešení
a)   Úhlopříčka e je dlouhá 99,86 cm.
b)   Úhlopříčka f je dlouhá 166,52 cm.
Matematická úloha – Úhlopříčky v rovnoběžníku

4. Výška komína

Ze vzdálenosti 36 metrů od paty komína je vidět jeho vršek pod úhlem 53º.

Vypočítejte v metrech výšku komína. Zaokrouhlete na jedno desetinné místo.
Řešení
Výška komína je 47,80 m.
Matematická úloha – Výška komína

5. Sinus a cosinus úhlů

Vypočítejte zpaměti sin a cos uvedených úhlů:
a)   
b)   
c)   
d)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   
Matematická úloha – Sinus a cosinus úhlů

6. Řeka viditelná z rozhledny

Z rozhledny, která je 15 m vysoká a od řeky vzdálená 30 m, vidíme řeku pod výškovým úhlem 15 °.

Vypočtěte šířku řeky v metrech a zapište na jedno desetinné místo.
Řešení
Řeka je široká 43,30 metrů.
Matematická úloha – Řeka viditelná z rozhledny

7. Kuželovitá střecha

Střecha věže má tvar pláště rotačního kužele o průměru podstavy 4,30 m. Odchylka strany od roviny podstavy je 36 °.

Vypočtěte v m2 spotřebu plechu na pokrytí střechy, počítáme-li 8 % na odpad. (Výsledek zapište na dvě desetinná místa.)
Řešení
Spotřeba plechu je 19,40 m2
Matematická úloha – Kuželovitá střecha

8. Šířka řeky

Budova vysoká 15 m je vzdálená od břehu řeky 30 m. Ze střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem 15 °.

Vypočtěte, kolik metrů je řeka široká.
Řešení
Řeka je široká 43,30 m.
Matematická úloha – Šířka řeky
 
1