Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–8 / 8

1

Přehled ročníků

1. Exponenciální rovnice počítané substitucí

Vypočítej exponenciální rovnice v oboru reálných čísel:

a) \[ 2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \]

b) \[ 3^{2x} + 2 \cdot 3^x - 8 = 0 \]

c) \[ 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \]

d) \[ 4^{2x} - 8 \cdot 4^x + 16 = 0 \]

e) \[ 9^{2x} - 7 \cdot 9^x + 12 = 0 \]

f) \[ 7^{2x} - 13 \cdot 7^x + 42 = 0 \]

g) \[ 6^{2x} - 5 \cdot 6^x - 6 = 0 \]

h) \[ 10^{2x} + 3 \cdot 10^x - 4 = 0 \]

Řešení

a) \( x = 0 \) nebo \( x = 1 \)

b) \( x = \log_3 2 \)

c) \( x = 1 \) nebo \( x = 0 \)

d) \( x = 1 \)

e) \( x = \frac{1}{2} \) nebo \( x = \log_9 4 \)

f) \( x = \log_7 6 \) nebo \( x = 1 \)

g) \( x = 1 \)

h) \( x = 0 \)

2. Exponenciální rovnice

Najděte řešení exponenciálních rovnic:

a) $3^{x-1} - 3^{x} + 3^{x+1}=567$

b) $6 \cdot 2^{x+1} - 20 \cdot 2^{x-1} =16$

Řešení

a) x = 5

b) x = 3

3. Trosečník na ostrově

Trosečník přišel na pustý ostrov se 4 obilnými zrnky. Z jednoho zrnka získal 10 zrnek a na chléb potřeboval 1 kg obilí a 1 zrnko má hmotnost asi 0,20 g? (Předpokládejme jednu úrodu za rok.)

Vypočítejte, kolik let trosečníkovi trvalo, než si vypěstoval dost obilí na chléb.

Řešení

Trosečníkovi trvalo 4 roky, než si vypěstoval dost obilí na chléb.

4. Exponenciální rovnice

Řešte rovnice

a) $\frac{625^{1-x}\cdot 25^{x-1}}{3125^{x}}=5\cdot \frac{1}{5^{6x}}$

b) $0,25^{2-x}=\frac{256}{2^{x+3}}$

c) $\left (\frac{1}{8}\right )^{-x}=\left (\frac{1}{32}\right )^{1-x}$

d) $3^{2x-3}-9^{x-1}+27^{\frac{2x}{3}}=675$

e) $3 \cdot 3^{2x+1}=3^{x+2}-1-6\cdot 3^{x}+3^{2(x+1)}$

f) $6^{x}-4\cdot 3^{x}=3\cdot 2^{x}-12$

Řešení

a) $K=\left \{ 1 \right \}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}$

c) $K=\left \{ \frac{5}{2} \right \}$

d) $K=\left \{ 3 \right \}$

e) $K=\left \{ -1 \right \}$

f) $K=\left \{ 1;2 \right \}$

5. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice v R

a) $x^2-4x-21 \geq 0$

b) $x^2-36 \leq 0$

c) $-x^2+x+20 > 0$

d) $x^2-6x+9 < 0$

e) $x^2+1 \geq 0$

f) $-x^2-5 \leq 0$

g) $x^2-2x+1 \leq 0$

h) $2x^2+5x-3 \geq 0$

Řešení

a) $x \in \left ( - \infty ; -3 \right \rangle \cup \left \langle 7; \infty \right )$

b) $x \in \left \langle -6; 6 \right \rangle$

c) $x \in \left ( -4; 5 \right )$

d) nemá řešení v R

e) $x \in \left ( -\infty; \infty \right )$

f) $x \in \left ( -\infty; \infty \right )$

g) $x = 1$

h) $x \in \left ( - \infty ; -3 \right \rangle \cup \left \langle \frac{1}{2}; \infty \right )$

6. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\left (2x - 2 \right )^2-3x \left (x-3 \right ) \leq 19-x$

b) $\left (2 - 3x \right ) - \left (x - 1 \right ) \geq - 4 - \left (x-1 \right )^2$

c) $-2 \left (x^2 - 1 \right ) + 2 \left (1 - x \right ) - 5 \leq 0$

d) $x^2 - 3x + 7 > 5x + 16$

e) $x^2-\left (x - 1 \right )^2 > x \left (x - 1 \right ) + 1$

f) $\left (x + 1 \right )^2 - 2 \left (x + 1 \right ) + 1 \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle -5; 3 \right \rangle$

b) $x \in \left ( - \infty ; 2 \right \rangle \cup \left \langle 4; \infty \right )$

c) $x \in \left ( - \infty ; \infty \right )$

d) $x \in \left ( - \infty ; -1 \right ) \cup \left ( 9; \infty \right )$

e) $x \in \left ( 1 ; 2 \right )$

f) $x \in \left \{0\right \}$

7. Získaný úrok

Za kolik let vynese jistina 50000 Kč při 5 % p. a. úrok 5125 Kč?

Řešení

Počet let je 2.

8. Bakterie ve zkumavce

Bakterie ve zkumavce se dělí každou sekundu na dvě, přičemž každá nová má stejný objem jako původní. Přesně o půlnoci byla zkumavka plná.

Vypočítejte, kolik sekund před půlnocí byla zkumavka zaplněna do poloviny.

Řešení

Počet sekund před půlnocí, kdy byla zkumavka zaplněná do poloviny, bylo 1.

1